Matemática para o Ensino Fundamental

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Matemática para o ensino Fundamental 2

Matemática para o Ensino Fundamental

1 Expressões algébricas:

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Expressões Numéricas:

São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:

Expressões algébricas:

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica:

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1.Potenciação ou Radiciação

2.Multiplicação ou Divisão

3.Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

1.Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

2.A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

3.Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

1.Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

2.Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:

Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.

3.Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Monômios e polinômios:

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

Identificação das expressões algébricas:

Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada:

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

2 Expressões Algébricas Parte 2:

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão):

Regras de potenciação:

Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:

Eliminação de parênteses em Monômios:

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Adição ou Subtração de Monômios:

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Multiplicação de Monômios:

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Divisão de Monômios:

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Potenciação de Monômios:

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Alguns Produtos notáveis:

Existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.

Quadrado da soma de dois termos:

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

Quadrado da diferença de dois termos:

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

3 Critérios de Divisibilidade:

Sobre a divisibilidade:

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Divisibilidade no browser Netscape:

Use o nosso Verificador de divisão exata para saber se um número inteiro M é divisível por um outro inteiro N. Entre com dois números inteiros, um em cada caixa do formulário e clique no botão apropriado. Já existem dois números para teste do programa.

A outra forma usa o browser e você deve digitar a linha de comando abaixo, exatamente como está, dentro da caixa com o nome do arquivo que está sendo acessado no momento (location=endereço):

A seguir pressione ENTER e você verá uma nova janela com um número! Se o número for zero a divisão será exata, mas se for diferente de zero a divisão não será exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Divisibilidade por 2:

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3:

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4:

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5:

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6:

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7:

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

Repete-se o processo com este último número.

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

Repete-se o processo com este último número.

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8:

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9:

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

4 Critérios De Divisibilidade Parte 2:

Divisibilidade por 10:

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11:

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11.

Divisibilidade por 13:

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16:

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17:

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

Repete-se o processo com este último número.

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19:

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

5 Critérios De Divisibilidade Parte 3:

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

Repete-se o processo com este último número.

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23:

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

Repete-se o processo com este último número.

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29:

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

Repete-se o processo com este último número.

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31:

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

Repete-se o processo com este último número.

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49:

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

Repete-se o processo com este último número.

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

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