Metodologia do ensino da matemática

Antes de considerarmos quais conhecimentos as crianças necessitam adquirir, é de suma importância que analisemos como o desenvolvimento cognitivo do ser humano se promove e, consequentemente, como as crianças constroem seus conhecimentos a partir de uma perspectiva construtivista, já que, de acordo com Miranda, o construtivismo é definido como “uma dimensão constitutiva e, portanto, um aspecto não-casual, não-acessório e não-secundário, das reformas educacionais que se processam, na atualidade, em vários países do mundo”. Baseados na perspectiva descrita, que discute o conceito de construtivismo fundamentando-se em teorias psicológicas da aprendizagem ou do desenvolvimento, é que discutimos a construção do conhecimento, uma vez que as respectivas teorias se orientam “pelo princípio de que o aluno, mediante sua ação e auxiliado pelo professor, deva ser o agente de seu próprio conhecimento”.

Segundo Goulart, a origem e a evolução do conhecimento podem ser explicadas, atualmente, por três vertentes diferentes. Alguns teóricos, como Konrad Lorenz e Noam Chomsky, defendem o inatismo e concordam que “o conhecimento é pré-formado, ou seja, já nascemos com as estruturas do conhecimento”.

No empirismo, de forma inversa, acreditam que “o conhecimento tem origem e evolui a partir da experiência que o sujeito vai acumulando”. Podemos citar J. B. Watson e B. F. Skinner como seus adeptos mais famosos.

Um último modelo teórico e objetivo desta unidade é o construtivismo, em que adeptos como Piaget, Wallon, Vygotsky, Leontiev e Luria admitem que “o conhecimento resulta da interação do sujeito com o ambiente”.

Portanto vamos examinar alguns estudiosos cujas teorias psicológicas tratam do desenvolvimento do conhecimento humano: Piaget, que declarava que o conhecimento vem da interação do indivíduo com o meio; Vygotsky, que conferiu um imenso valor à interação social no processo de construção das funções psicológicas humanas; e, enfatizando a importância da emoção, nos deparamos com Wallon, cujas ideias contribuíram para o pensamento interacionista que considerava vários aspectos do sujeito afetivo, cognitivo e motor. Consequentemente conduzindo à autonomia moral e intelectual, possibilitando ao indivíduo a real construção do conhecimento.

Sabemos que não existe uma única teoria que melhor responda a todos os aspectos dos processos de desenvolvimento e aprendizagem. Os teóricos aqui citados fornecem subsídios necessários para que compreendamos a complexidade do sujeito e a forma como ele aprende e se desenvolve, possibilitando para nós, educadores, uma atuação pedagógica comprometida, integrada e contextualizada à sociedade em que vivemos.

De acordo com Goulart, Piaget evidencia três aspectos distintos do desenvolvimento psíquico, analisados sob a ótica da relação que um sujeito estabelece com o outro, perpassando em um primeiro momento pela anomia (ausência de regras), depois pela heteronomia (regras imposta pelo outro) e, por último, chegando à autonomia.

• Funções do conhecimento – envolvendo o pensamento, as percepções e a construção de conceitos;

• Funções de representação da realidade – envolvendo linguagem, jogo, imitação, desenho;

• Funções afetivas – mola propulsora do desenvolvimento cognitivo.

A maior parte de seus estudos foi dedicada às funções do conhecimento (desenvolvimento cognitivo), nos quais a visão piagetiana, até hoje, vem sendo usada e desenvolvida nos meios educacionais.

O desenvolvimento cognitivo, para Piaget, abrange quatro estágios: sensório-motor, pré-operatório, operatório concreto e das operações formais. Em cada estágio, o conhecimento é inserido em uma estrutura. Identificam-se as funções constantes, “comum a todas as idades. Em todos os níveis, a ação supõe sempre um interesse que a desencadeia, podendo-se tratar de uma necessidade fisiológica, afetiva ou intelectual”. Paralelas às funções constantes, percebe-se as estruturas variáveis maneiras da atividade mental se organizar modos sucessivos para atingir o equilíbrio. Piaget descreve que cada estágio, composto pelas estruturas que o determinam, “possui uma forma particular de equilíbrio, efetuando-se a evolução mental no sentido de uma equilibração sempre mais completa”.

Ainda que a sequência dos estágios instituída por Piaget evolua de forma ampla e contínua, podem ocorrer pequenas alterações quanto à idade estipulada em cada um. Como ele mesmo afirma, “o desenvolvimento mental é uma construção contínua, comparável à edificação de um grande prédio que, à medida que se acrescenta algo, ficará mais sólido”. Portanto privar a criança/adolescente de desafios possibilita um atraso ou progresso das etapas de desenvolvimento. E por conseguinte, Piaget descreve como a criança e o adolescente evoluem pelos quatro estados, que ele próprio chama de fases de transição.

No primeiro estágio, denominado sensório-motor (0 a 2 anos), a criança faz uso das percepções sensoriais (sucção) para explorar o mundo que a rodeia, ou seja, a criança explora o meio físico através de seus esquemas motores, por exemplo: pegar, jogar, morder. Nessa fase, a criança vai desenvolvendo a noção do seu eu, conhecendo seu corpo e percebendo que faz parte do contexto. Também é marcado pela construção prática das noções de objeto, espaço, causalidade e tempo.

É definido por Piaget como pré-operatório ou objetivo simbólico (2 a 6/7 anos). A criança já é capaz de manusear esquemas simbólicos desenho, jogo, linguagem só conseguindo ver o mundo a partir dela mesma, assim é também conhecido como o estágio da Inteligência Simbólica. Macedo, ainda ressalta que a atividade sensório-motora não está esquecida ou abandonada, mas refinada e mais sofisticada. Se oferecermos duas massinhas iguais em formatos diferentes, por exemplo, uma em forma de bola e a outra em forma de salsicha, a criança negará que a quantidade de massas continue igual, já que os formatos são diferentes. Portanto a criança não estabelece relações entre as situações apresentadas.

• É egocêntrica, centrada em si mesma, e não consegue se colocar, abstratamente, no lugar do outro;

• Não aceita a ideia do acaso e tudo deve ter uma explicação (é a fase dos “porquês”);

• Já pode agir por simulação, “como se”;

• Possui percepção global sem discriminar detalhes;

• Deixa se levar pela aparência sem relacionar fatos.

A criança já é capaz de executar operações concretas, conseguindo fazer relações e abstrair dados da realidade. Desenvolve também a capacidade de representar uma ação no sentido inverso de uma anterior, anulando a transformação observada (reversibilidade). Durante o desenvolvimento mental da criança, aparecem operações lógicas e operações infralógicas. “Umas são indispensáveis ao desenvolvimento das outras”. Nas operações lógicas surgem as operações de classificação, seriação e compensação simples. As operações infralógicas são resultantes da “construção de invariantes físicas (substância, peso, volume) e de invariantes espaciais (conservação da superfície do comprimento, do volume, estabelecimento de horizontais e verticais etc.)”.

O terceiro estágio é de suma importância para o desenvolvimento mental da criança, pois marca o início da escolaridade. Novos modos de organização e construção do pensamento vão aparecendo e complementando os do período anterior. Segundo Piaget:

(...) a criança de sete anos começa a se liberar de seu egocentrismo social e intelectual, tornando-se, então, capaz de novas coordenações, que serão da maior importância, tanto para a inteligência quanto para a afetividade. Para a inteligência, trata-se do início da construção lógica, que constitui, precisamente, o sistema de relações que permite a coordenação dos pontos de vista entre si. Estes pontos de vista são tantos aqueles que correspondem a indivíduos diferentes, como aqueles correspondentes a percepções ou intuições sucessivas do mesmo indivíduo. Para a afetividade, o mesmo sistema de coordenações sociais e individuais produz uma moral de cooperação e de autonomia pessoal, em oposição à moral intuitiva de heteronomia característica das crianças.

É definido por Piaget como estágio das operações formais (11/12 anos até a vida adulta). O adolescente desenvolve, agora, a capacidade de raciocinar sobre hipóteses e ideias abstratas, utilizando, portanto, o pensamento hipotético-dedutivo “e, com ele, a constituição de uma lógica “formal”, quer dizer, aplicável a qualquer conteúdo”. Tem como fundamental particularidade a distinção entre o real e o possível.

A obra Vygotskiana apresentou significativo amparo teórico dos filósofos Karl Marx e Friedrich Engels. “Como Marx e Engels, Vygotsky acredita que o homem não é apenas um produto de seu meio, ele é também um sujeito ativo no movimento que cria este meio, esta realidade”. Para ele, o desenvolvimento da criança é produto de instituições sociais e sistemas educacionais, como a família, escola, igreja, que ajudam a construir o próprio pensamento e descobrir o significado da ação do outro e da própria ação.

1º- O primeiro se refere à origem dos processos psicológicos superiores do ser humano, fundamentada nas relações socioculturais do homem com o mundo exterior. Tem como base biológica de seu funcionamento psicológico o cérebro, entendido como “um sistema aberto, de grande plasticidade, cuja estrutura e modos de funcionamento são moldados ao longo da história da espécie e do desenvolvimento individual”.

2°- O segundo aspecto diz respeito à relação do homem com o mundo como uma relação mediada por sistemas simbólicos – instrumentos e signos. As bases dessa mediação, que se fundamentam dentro de um contexto sócio-histórico, segundo Rego, são imprescindíveis, pois “é através dos instrumentos e signos que os processos de funcionamento psicológico são fornecidos pela cultura. É por isso que Vygotsky confere à linguagem um papel de destaque no processo de pensamentos”.

3º- O terceiro aspecto “postula que a análise psicológica deve ser capaz de conservar as características básicas dos processos psicológicos, exclusivamente humanos”.

Uma vez definido o método, Vygotsky empreende uma série de pesquisas com o propósito de estudar os aspectos tipicamente humanos do comportamento e elaborar hipóteses sobre como essas características se formam ao longo da história dos homens e de como se desenvolvem durante a vida de um indivíduo. A questão central para ele consiste em explicar como a maturação física e a aprendizagem sensório motora interagem com o ambiente, que é histórico e em essência social , de forma a produzir as funções complexas do pensamento humano.

(...) Os fatores biológicos preponderam sobre os sociais apenas no início da vida. Aos poucos, o desenvolvimento do pensamento e o próprio comportamento da criança passam a ser orientados pelas interações que esta estabelece com pessoas mais experientes. (...) De acordo com Vygotsky, as abordagens maturacionais tendem a supervalorizar os processos intra individuais, minimizando o impacto do ambiente social no desenvolvimento cognitivo.

Convém ressaltar que para ocorrer o desenvolvimento das funções psicológicas superiores, restritamente humanas, é preciso que o processo de mediação simbólica aconteça, pois é justamente no mesmo processo que Vygotsky identifica a linguagem como principal mediador da relação entre ser humano e mundo e com os outros indivíduos. “A linguagem é um sistema de signos que possibilita o intercâmbio social entre indivíduos que compartilhem desse sistema de representação da realidade”.

A relação entre pensamento e linguagem é outro ponto de destaque na obra de Vygotsky. Quando ele analisa as origens do pensamento e da linguagem, ou seja, suas “raízes genéticas”, propõe a existência de quatro estágios no curso do desenvolvimento das funções psicológicas que abarcam o emprego de signos. “Sendo assim, a linguagem tanto expressa o pensamento da criança como age como organizadora desse pensamento”.

• Estágio natural ou primitivo – corresponde à fala pré-intelectual e ao pensamento pré-verbal;

• Estágio das experiências psicológicas ingênuas, a criança domina a sintaxe da fala antes de dominar a sintaxe do pensamento;

• Estágio dos signos exteriores corresponde à fala egocêntrica e o pensamento atua basicamente com operações externas, das quais a criança se apropria para resolver problemas internos;

• Estágio de crescimento interior – interiorização do pensamento e da linguagem.

É importante destacar que, para Vygotsky, esses estágios de desenvolvimento cognitivo não possuem caráter universal. Reconhecendo a imensa diversidade nas condições histórico-sociais em que as crianças vivem, ele acredita que as oportunidades abertas para cada uma delas são muitas e variadas, enfatizando, mais uma vez, a relevância do social na formação do pensamento. Do ponto de vista Vygotskyano, não se pode falar em uma sucessão rígida de estágios, mas sim em coexistência de fases a depender das condições acima referidas.

Na concepção de Vygotsky, a aprendizagem impulsiona, possibilita e movimenta o processo de desenvolvimento, sendo a escola considerada essencial na construção do ser psicológico e racional. Por conseguinte, a escola, funcionando como uma instituição incentivadora de novas conquistas psicológicas, deve dirigir o ensino não para etapas intelectuais já alcançadas, mas sim para estágios de desenvolvimento, ainda não incorporados pelos alunos.

A escola, num primeiro momento, deveria partir do nível de desenvolvimento real da criança (em relação ao conteúdo) e chegar aos objetivos da aula, ou seja, chegar ao potencial da criança. É atribuído ao professor o papel explícito de interferir na zona de desenvolvimento proximal (ZDP) dos alunos, provocando consequentemente, avanços que não ocorreriam espontaneamente.

Observemos que o nível de desenvolvimento real abordado na teoria Vygotskyana refere-se ao nível atual, real e efetivo da criança, ou seja, à tarefa alcançada pela criança sem a ajuda do outro. No entanto, o nível de desenvolvimento potencial é definido pelo nível em que a criança alcança uma tarefa com a ajuda de outros mais experientes (pai, professor, colega). “A distância entre aquilo que ela é capaz de fazer de forma autônoma (nível de desenvolvimento real) e aquilo que ela realiza em colaboração com outros elementos de seu grupo social (nível de desenvolvimento potencial) caracteriza o que Vygotsky denomina de zona de desenvolvimento proximal”.

O que ocorre para Vygotsky é que o aprendizado progride mais rapidamente do que o desenvolvimento. Por isso, a proposta do termo zona de desenvolvimento proximal (ZDP) em sua teoria é aquela em que a escola deve atuar. É no mesmo espaço que o professor, agente mediador (por meio da linguagem, material cultural), intervém e auxilia na construção e elaboração de estratégias pedagógicas para o desenvolvimento do aluno.

No entanto, devemos considerar que a “ZDP é uma propriedade estável e estática”, não existindo uma única ZDP por aluno, mas inúmeras. Do mesmo modo, temos que levar em conta que “o papel do professor ao oferecer ajuda ao aluno supõe criar diferentes e frequentes ZDP, permitindo que o pensamento do aluno vá progressivamente se modificando, em direção a tarefas progressivamente mais complexas”.

Wallon buscou nos princípios do materialismo dialético o referencial epistemológico para sua teoria, “perspectiva filosófica especialmente capaz de captar a realidade em suas permanentes mudanças e transformações”.

No que diz respeito aos procedimentos metodológicos, escolheu a observação pura “como instrumento privilegiado da psicologia genética. (...) Só podemos entender as atitudes das crianças se entendemos a trama do ambiente no qual está inserida”.

O estudo realizado sobre o desenvolvimento humano é centrado na criança contextualizada e também, como em Piaget e Vygotsky, apresenta alguns estágios. Uma das características das etapas elaboradas por Wallon é não seguir uma linearidade, são descontínuas, marcadas “por rupturas, retrocessos e reviravoltas”, provocando em cada fase profundas mudanças nas anteriores. “Para Wallon, a passagem de um a outro estágio não é uma simples ampliação, mas uma reformulação”.

Em cada fase do desenvolvimento prevalece um tipo de atividade relacionada com o ambiente em que a criança está inserida, dependente dos recursos de que ela dispõe naquele momento. As fases propostas por Wallon se expressam nos cinco estágios descritos de forma sucinta abaixo.

• Estágio impulsivo-emocional: refere-se ao primeiro ano de vida da criança. A emoção é o instrumento dominante na interação da criança com o mundo. A “afetividade é impulsiva, emocional, que se nutre pelo olhar, pelo contato físico e se expressa em gestos, mímica e posturas”;

• Estágio sensório-motor e projetivo: vai até os três anos. A criança adquire um certo domínio do movimento, diversificando a afetividade sensório-motora para exploração do mundo físico. O ato precede ao pensamento e o desenvolvimento das funções simbólica e da linguagem é também marcante;

• Estágio do personalismo: dos três ao seis anos. Caracteriza-se pela formação da personalidade. A conscientização da sua própria pessoa ocorre com a interação social. A criança passa pelo período do negativismo (“do NÃO, do EU e do MEU”, da autoafirmação, da gratidão e da imitação. Pode participar da vida de diferentes grupos sociais como escola e clubes e nem sempre ocupa o mesmo papel, sendo importante o intercâmbio social;

• Estágio categorial: inicia-se aos seis anos e o interesse da criança volta-se para as coisas, para o conhecimento e para a conquista do mundo exterior. A interação com o meio tem supremacia cognitiva. A afetividade torna-se mais racionalizada e os sentimentos, elaborados mentalmente, possibilitam aos jovens uma teorização sobre suas relações afetivas;

• Estágio da adolescência: com a puberdade “podemos dizer que, no plano afetivo, o EU volta a adquirir uma importância considerável; e no plano intelectual, a criança supera o mundo das coisas, para atingir o mundo das leis”;

Durante o desenvolvimento humano, ocorrem períodos em que ora sobressaem as funções cognitivas (voltadas para a construção do real – classificação de objetos, operação matemática, definição de conceitos), ora as afetivas (voltadas para nós mesmos, elaboração do EU – nascimento de um filho, irmão, perda de um ente querido). A predominância ora afetiva ora cognitiva Wallon denominou predominância funcional.

Em todos os estágios do desenvolvimento da pessoa surgem ritmos descontínuos, marcados por contradições e conflitos. “Nenhuma dessas etapas jamais é completamente superada e em certas afeições, assiste-se à ressurgência de estágios mais antigos”. Para Wallon, os estágios se interpõem e a criança tem orientada a sua interação mais para a afetividade ou para a cognição. Dessa forma, afetividade e cognição se alternam, não se mantendo como funções exteriores uma à outra, cada uma incorporando as conquistas realizadas pela outra, no estágio anterior, com as regulações necessárias.

Wallon, ao estudar o desenvolvimento humano, propõe a psicogênese da pessoa completa, distribuindo a atividade infantil em vários campos funcionais afetivo, motor e cognitivo. No decorrer do desenvolvimento, vão aparecendo sucessivas diferenciações entre os campos funcionais e no interior de cada indivíduo. Considera o sujeito como geneticamente social, buscando em outras áreas do saber – neurologia, psicopatologia, antropologia, psicologia animal fundamentos mais sólidos para explicar os fatores de desenvolvimento.

Ocupando lugar de destaque no estudo walloniano, a análise das emoções põe em evidência o caráter dialético de sua teoria psicogenética. Como a emoção tem um comportamento predominante nos primeiros anos de vida da criança, com certeza apresenta uma função específica, por isso que Wallon, “contrariando a visão das teorias clássicas, defende que as emoções são reações organizadas e que se exercem sob o comando do sistema nervoso central”.

Conforme Dantas, a emoção é caracterizada por sua forma complexa e paradoxal. “Ela é simultaneamente social e biológica em sua natureza; realiza a transição entre o estado orgânico do ser e a sua etapa cognitiva, racional, que só pode ser atingida através da mediação cultural, isto é, social”.

Além da emoção, Wallon enfatiza a grande influência da linguagem como instrumento indispensável ao desenvolvimento do pensamento. “A aquisição da linguagem representa, assim, uma mudança radical na forma de a criança se relacionar com o mundo”.

O teórico em estudo traz importantes contribuições para a educação e, nos devidos termos, Galvão pontua vários artigos acerca desse tema, escritos por Wallon, em que considera a escola como ambiente ideal para observar atentamente a personalidade da criança, uma vez que “é na interação e no confronto com o outro que se forma o indivíduo”.

Ao propor a psicogênese da pessoa completa, Wallon sugere uma prática de ensino que contemple os campos afetivo, cognitivo e motor, possibilitando assim o desenvolvimento da criança nos níveis citados. A teoria atenta para os conteúdos de ensino tendo em vista “uma prática em que a dimensão estética da realidade é valorizada e a expressividade do sujeito ocupa lugar de destaque”.

Também atribui grande mérito ao meio, “campo sobre o qual a criança aplica as condutas de que dispõe, ao mesmo tempo, é dele que retira os recursos para sua ação”, no desenvolvimento da criança, sobretudo na necessidade de se organizar um ambiente escolar composto por atividades individuais e coletivas.

Na concepção Walloniana, a emoção atua como importante recurso na reflexão pedagógica. Dentro do contexto escolar, situações de conflitos entre professor e aluno são muito comuns. Se o professor souber distinguir com clareza os fatores que geram conflitos, provavelmente poderá controlar as manifestações de suas reações emocionais e, consequentemente, descobrirá meios de resolvê-los.

A perspectiva dialética que emprega no estudo dos fenômenos psíquicos instiga, no professor, uma atitude crítica e de permanente investigação sobre a prática cotidiana. Inspira um professor que, diante dos conflitos, não se contenta com respostas-padrão ou fórmulas estereotipadas e mecânicas, mas busca compreender-lhes o significado desvelando a complexa trama dos fatores que os condicionam.

Wallon possibilita com sua teoria psicogenética que, nós, educadores/educadoras, façamos uma reflexão, uma avaliação acerca de suas ideias pedagógicas “para a construção de uma prática mais adequada às necessidades e possibilidades de cada etapa do desenvolvimento infantil”.

Wallon atribui grande importância à construção da criatividade na criança, sem levar em conta o que nós adultos valorizamos, e como aponta Goulart, “a valorização das relações sociais como base do desenvolvimento afetivo e intelectual é, provavelmente, a maior contribuição de Wallon para uma proposta construtivista de educação. Graças a elas, evitamos formar indivíduos limitados e rotineiros”.

Almejamos uma educação que possibilite a interação social entre as pessoas, que contribua de forma significativa para o desenvolvimento da criatividade, da autonomia, da cooperação, da análise crítica, do conhecimento, da moral, como também permita trabalhar a emoção, a autoestima, a ansiedade e os limites do educando, concorrendo para uma formação plena capaz de fazê-lo enfrentar situações-problema em qualquer área. É importante observarmos que os temas pontuados acima, em algum momento, manifestam-se ao longo das obras dos três teóricos estudados, os quais reconhecem o ser humano como uma pessoa completa, não separando os aspectos: motor, cognitivo e emotivo.

Reflexões acerca das obras de Piaget, Wallon e Vygotsky possibilitam, para nós educadores, uma visão mais ampla e completa de como nossos educandos, ao longo do desenvolvimento cognitivo, produzem a aprendizagem. Portanto, faz-se necessário um novo olhar sobre uma prática pedagógica estanque, pronta, infalível que urge por mudanças e transformações.

Para podermos iniciar o processo de desenvolvimento do senso matemático infantil, embasamo-nos em Lorenzato, que defende aspectos conceituais, tendo por objetivo enfatizar “o quê”, “por quê” e “para quê” ensinar noções pré-matemáticas.

No entanto, é preciso, inicialmente, observar que esse importante trabalho de exploração matemática a ser proposto às crianças sofre duas diferentes contribuições negativas, ambas externas a elas, mas que podem lhes afetar fortemente em seu desenvolvimento: a primeira vem dos próprios professores, que não incluem no processo de exploração matemática inúmeras atividades, por julgá-las muito simples e, portanto, desnecessárias ou inúteis à aprendizagem; a segunda vem dos pais, que cobram da pré-escola o ensino dos numerais e até mesmo de algumas “continhas”. Atender a esse pedido é provavelmente dar à criança um péssimo começo para o longo caminho da aprendizagem do importante significado que a matemática terá em sua vida; seria fazer como o pedreiro que se põe apressadamente a construir as paredes de uma casa sem ter preparado o alicerce.

Dessa forma, o referido teórico apresenta uma proposta cuja questão essencial é começar por onde as crianças se encontram e não por onde os educadores gostariam que as mesmas estivessem. Logo, estabelece dois assuntos fundamentais: aproveitar os conhecimentos e habilidades que as crianças são portadoras e explorar três campos matemáticos espacial, numérico e das medidas (abordados com mais ênfase nas unidades subsequentes).

Para tanto, faz-se necessário começar o trabalho pelas noções apontadas no quadro a seguir, que “devem ser introduzidas ou revisadas verbalmente e por meio de diferentes situações, materiais manipuláveis, desenhos, histórias ou pessoas”.

O professor deve se certificar que os conceitos apontados acima se relacionam diretamente com algum ou alguns dos conceitos físico-matemáticos traçados no quadro abaixo:

São sete os processos mentais básicos que devem permear a prática do professor que deseja que a exploração matemática seja realizada pela criança. Para Lorenzato “se o professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas terão grandes dificuldades para aprender número e contagem, entre outras noções”. E ainda enfatiza que sem o domínio dos processos apresentados, provavelmente a aprendizagem ocorrerá sem significado algum ou compreensão para as crianças. Tais processos se referem tanto a objetos, quanto a situações ou ideias.

1. Correspondência: é o ato de estabelecer a relação “um a um”.
Exemplos: um prato para cada pessoa; cada pé com seu sapato; a cada aluno, uma carteira. Mais tarde, a correspondência será exigida em situações do tipo: a cada quantidade; um número (cardinal), a cada número, um numeral, a cada posição (numa sequência ordenada), um número cardinal;

2. Comparação: é o ato de estabelecer diferenças ou semelhanças.
Exemplos: esta bola é maior que aquela; moro mais longe que ela; somos do mesmo tamanho? Mais tarde, virão: Quais destas figuras são retangulares?; Indique as frações equivalentes;

3. Classificação: é o ato de separar em categorias de acordo com semelhanças ou diferenças.
Exemplos: na escola, a distribuição dos alunos por série; arrumação de mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadriculares, separá-las conforme o total de lados que possuem;

4. Sequenciação: é o ato de fazer suceder a cada elemento um outro sem considerar a ordem entre eles.
Exemplos: chegada dos alunos à escola; entrada de jogadores de futebol em campo; compra em supermercado; escolha ou apresentação dos números nos jogos, loto, sena e bingo.

5. Seriação: é o ato de ordenar uma sequência segundo um critério.
Exemplos: fila de alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chamada de alunos; numeração das casas nas ruas; calendário; loteria federal (a ordem dos números sorteados para o primeiro ou quinto influi nos valores a serem pagos). O modo de escrever números (por exemplo, 123 significa uma centena de unidades, mais duas dezenas de unidades, mais três unidades e, portanto, é bem diferente de 321;

6. Inclusão: é o ato de fazer abranger um conjunto por outro.
Exemplos: incluir as ideias de laranjas e bananas em frutas; meninos e meninas, em crianças; varredor, professor e porteiro, em trabalhadores na escola; losangos, retângulos e trapézios, em equiláteros;

7. Conservação: é o ato de perceber que a quantidade não depende da arrumação, forma ou posição.
Exemplos: uma roda grande e outra pequena, ambas formadas com a mesma quantidade de crianças; um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma quantidade de água; uma caixa com todas as faces retangulares, ora apoiada sobre a face menor, ora sobre outra face, conserva a quantidade de lados ou de cantos, as medidas e, portanto, seu perímetro, área e volume.

Todos os processos mencionados podem e devem interagir com qualquer outra situação do dia-a-dia. Em sala de aula, devem ser trabalhados de forma simples e a mais natural possível, não se esquecendo de mesclá-los e integrá-los, uma vez que “é nessa integração que reside o verdadeiro favorecimento didático para o progresso educacional da criança”.

O professor da Educação Infantil tem como responsabilidade criar e conservar o espaço da sala de aula, tanto nos aspectos físico, afetivo e social, que permita ou favoreça chegar aos objetivos pedagógicos traçados. Para tanto, é preciso levar em consideração alguns aspectos defendidos por Lorenzat, tendo em vista que:

• Crianças gostam e necessitam de carinho, cuidado e atenção;

• É preciso gostar do que faz para ser bem sucedido;

• É preciso ter uma formação profissional adequada;

• É importante manter-se atualizado;

• É importante refletir sobre sua própria prática, trocando, sempre que possível, pontos de vista com seus pares;

• É fundamental conhecer os objetivos de formação recomendados pela escola em que trabalha, bem como os objetivos de cada atividade a ser proposta; e mais, é preciso conhecer as especificidades dos assuntos que as crianças devem aprender;

• É necessário, cada vez mais, diminuir a distância entre a Educação Infantil e o Ensino Fundamental, tanto em relação aos processos quanto em relação aos conhecimentos e técnicas;

• A experiência de vida pré-escolar caracteriza-se por uma forte e cotidiana interação da criança com a língua materna, a qual transcorre de forma natural, lenta e gradual. Assim deve-se dar também o desenvolvimento da percepção matemática, tal que a criança só fale ou escreva aquilo que tiver significado para ela. Justamente por isso, é importante observar que a interação da criança com a Matemática, nessa etapa da vida, não costuma ser tão intensa quanto aquela tida com a língua materna.

Propor atividades que envolvam diversos materiais concretos, jogos (que sejam pedagogicamente planejados) e resolução de problemas que favoreçam a elaboração de noções matemáticas de número, de medida e de geometria, com significado pela própria criança, é fundamental para desenvolver o pensamento matemático, uma vez que é a própria criança que realiza a aprendizagem, “pela reflexão que faz com o acompanhamento e a orientação do professor”.

O aluno vai construir conceitos matemáticos quando conseguir, através de alguma atividade, estabelecer relações entre uma nova informação e os conceitos já existentes na sua estrutura cognitiva, ocorrendo, portanto, uma interação entre a “nova informação adquirida e aquela já armazenada”.

Ou seja, é preciso que o aluno estabeleça correspondências de significados entre o novo conhecimento e o que já existe, ressignificando-os. Da mesma forma, Rabelo e Lorenzato defendem que é preciso proporcionar aos alunos atividades que permitam levar em consideração as “categorias conceituais que as crianças já têm sobre os objetos do conhecimento”, permitindo a interação e a “oportunidade de explicarem fenômenos que entendem, assim como de exporem e reelaborarem conceitos que já possuem”.

De igual maneira, D´Ambrósio defende que (...) todo conhecimento é resultado de um longo processo cumulativo, onde se identificam estágios, naturalmente não dicotômicos, entre si, quando se dão a geração, a organização intelectual, a organização social e a difusão do conhecimento. Esses estágios são, respectivamente, o objeto da teoria da cognição, da epistemologia, da história e sociologia, e da educação e política. Como um todo, esse processo é extremamente dinâmico e jamais finalizado, e está, obviamente, sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cultural e social. Assim é o ciclo da aquisição individual e social de conhecimento.

D´Ambrósio destaca quatro dimensões do conhecimento. São elas: sensorial, intuitiva, emocional e racional. As dimensões intuitiva e emocional estão relacionadas ao conhecimento religioso. Já a dimensão racional favorece o conhecimento científico, enquanto a emocional predomina nas artes. Para ele, todas essas dimensões são complementares, não sendo dicotomizadas nem hierarquizadas. “Do mesmo modo que não há dicotomia entre o saber e o fazer, não há priorização entre um e outro, nem há prevalência nas várias dimensões do processo”. Para D´Ambrósio, “tudo se complementa num todo que é o comportamento e que tem como resultado o conhecimento. (...) Assim, o comportamento é o elo entre a realidade, que informa, e a ação, que a modifica”.

Devemos ressaltar, de acordo com D´Ambrósio, que “cada indivíduo gera conhecimento como ação a partir de informações da realidade”. Cada indivíduo processa as informações de forma distinta, resultando em ações também distintas. “O comportamento e o conhecimento são, consequentemente, diferentes, muitas vezes conflitantes”. É a comunicação que leva ao entendimento comum entre os diferentes indivíduos.

Desse modo, é preciso favorecer ambientes em que seja possível o desenvolvimento de atividades em duplas ou em grupos, o que induz à comunicação. Consequentemente, é a comunicação “que permite que ambos tenham informações enriquecidas pela informação que lhe é comunicada pelo outro”, possibilitando, a cada indivíduo, “captar e processar as informações em um mesmo instante e numa mesma realidade.

Portanto construir conhecimento é organizar de forma estruturada a informação recebida, tomando consciência de si mesmo como ser integrante e participante do e no mundo. É permitir que o aluno receba uma informação nova por meio de uma atividade (podendo ser lúdica e levando em conta o trabalho em grupo) e interaja com a que já possui na sua estrutura cognitiva, resultando em uma outra informação elaborada por ele de forma autônoma, criativa e consciente. Pensamos ser uma releitura diária do saber.

LORENZATO, Ségio (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).

MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia Sicoli; PASSOS, Norimar Christe. Aprender com jogos e situaçõesproblema. Porto Alegre: Artmed, 2000.

MARZANO, Robert; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. O ensino que funciona: estratégias baseadas em evidências para melhorar o desempenho dos alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008.

SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; CÂNDIDO Patrícia. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema – Ensino Fundamental). Edição especial da Revista Nova Escola – Educação Infantil – 90 sugestões de atividades para crianças de até 5 anos. Editora Abril. Número 9, 2006.

Posto que as crianças devam vivenciar os conhecimentos assinalados a seguir de forma integrada, tentaremos traçar algumas especificidades de cada um de maneira fragmentada, não deixando de levar em consideração a interação e complementaridade existente, a valorização da semelhança entre os diferentes nomes e a compreensão dos conceitos abordados, uma vez que estes se inter-relacionam e procuram de alguma forma, “atender o currículo em espiral, que recomenda voltar ao mesmo assunto várias vezes, embora com diferentes enfoques. (...) Essa integração pode ser um apoio para a aprendizagem, pois facilita a percepção do significado de conceitos e símbolos”.

Se ensinar Matemática não é uma tarefa tão fácil, imagina aprendê-la! Amparados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais e por educadores que constataram que o ensino tradicional, da pura transmissão dos conteúdos e da falta de significados não é mais eficaz, é que defendemos uma metodologia centrada na construção do conhecimento e na produção da aprendizagem pelo aluno, em que o professor é o mediador, orientador e colaborador nesse processo.

Dessa forma, buscamos em alguns autores a reinvenção da Aritmética por parte das crianças, já que o ensino atual não está funcionando com eficiência, as crianças que reinventam a Aritmética se tornam mais competentes e os processos que acabam inventando “estão enraizados de forma profunda em sua intuição e na sua maneira natural de pensar”.

Se encorajarmos as crianças a desenvolverem seus próprios meios de raciocínio em vez de obrigá-las a memorizar regras que não fazem sentido, elas terão melhores fundamentos cognitivos e maior confiança. Crianças confiantes, a longo prazo, aprenderão mais que aquelas que foram ensinadas de tal maneira que não confiam em seu próprio raciocínio. (...) Nas séries iniciais, no entanto, acredito firmemente que elas devam construir um nível após outro por elas mesmas para que possam ter fundamentos sólidos para posteriores aprendizados.

O conceito de Aritmética nos ajuda a compreender como se processa a construção numérica e nos auxilia a diagnosticar as dificuldades existentes dos alunos que apresentam tais dificuldades. O termo Aritmética vem do grego arithmós, referindo-se aos números, e o prefixo ar significa reunir. Isso expressa que é a ciência que soma, subtrai, multiplica, divide números. Para Neto, desenvolver a competência aritmética é falar sobre a construção da noção de número.

Por conseguinte, trata da parte da Matemática que estuda as operações numéricas.

Há tempos os educadores acreditavam que a criança aprendia Aritmética por meio de lições e descobertas apenas recebendo informações do professor, pois o mesmo explicava, ditava, mostrava figuras enquanto a criança ouvia, copiava, decorava, devendo, assim, aprender. Quando não aprendia, a culpa, na maioria das vezes, era dela por ser desatenta e irresponsável, ou o professor não levava “jeito”. É possível que se instrua dessa maneira, mas o aluno terá uma compreensão quase mínima ou nenhuma daquilo que foi ensinado.

Na verdade, Kamii e DeClark defendem que o aprendizado vai acontecer através de um processo de construção a partir de dentro de si mesmas, levando as crianças a reinventarem a Aritmética, favorecendo, desse modo, um aprendizado com compreensão.

Para explicar, entender ou compreender a concepção de número, Piaget estabeleceu três tipos de conhecimentos: físico, lógico-matemático e social, sendo o elemento mais importante da Aritmética o conhecimento lógico-matemático.

O conhecimento físico é, portanto, um conhecimento empírico cuja origem reside parcialmente nos objetos. O conhecimento lógico-matemático, por outro lado, não é empírico, pois sua origem está na mente de cada indivíduo. Relações precisam ser criadas por cada indivíduo porque ideias como “diferente”, “similar” ou “dois” não existem no mundo externo, observável. As crianças acabam elaborando seu conhecimento lógico-matemático coordenando as relações simples que elas criaram entre os objetos. (...) A principal característica do conhecimento social é sua natureza geralmente arbitrária. O fato de uma árvore ser chamada de “árvore” é um exemplo de arbitrariedade do conhecimento social. Nas várias línguas, um mesmo objeto pode ser conhecido por diferentes nomes, desde que não haja uma relação física ou lógico-matemática entre o objeto e seu nome. Segue-se daí que, para a criança adquirir conhecimento social, sua convivência com pessoas é indispensável.

Enquanto as crianças não tiverem construído a noção lógico-matemática de números em suas mentes, tudo que elas conseguirão obter é conhecimento físico e empírico. Saber como as crianças constroem seus conhecimentos é fundamental para podermos proporcionar ambientes que facilitem a aprendizagem, já que ensinar Aritmética depende da concepção a respeito de como elas aprendem.

O conhecimento lógico-matemático tem suas fontes dentro de cada criança e é elaborado a partir da sua própria ação mental. (...) Não pode ser adquirido por interiorização daquilo que é do outro, mas pelo pensamento autônomo de cada criança. Quando crianças se convencem de que a ideia do outro é mais sensata que a sua própria, elas mudam a sua forma de pensar, corrigindo-se de dentro para fora .

Assim sendo, traçamos a seguir, de forma sucinta, alguns pontos da pesquisa, fundamentada na teoria de Piaget, sugerida por Constance Kamii e Georgia DeClark, de como trabalhar a construção da Aritmética com as crianças, uma vez que defendem uma aprendizagem que requer participação mental ativa e autônoma.

Três aspectos são fundamentais no trabalho das autoras, em que atividades e situações oferecidas podem favorecer que a criança construa o conhecimento lógico-matemático por si própria.

1. Número não é empírico por natureza. A criança o constrói através da abstração reflexiva pela sua própria ação mental de colocar coisas em relação.

2. Os conceitos de número não podem ser ensinados. Isso pode ser uma péssima notícia para os educadores, mas é boa no sentido de que o número não tem que ser ensinado, uma vez que a criança o constrói de dentro de si mesma, pela sua capacidade natural de pensar.

3. Adição também não precisa ser ensinada. A própria construção do número envolve a repetida adição de “1”.

Tal pesquisa permite que o professor compreenda o motivo por que alguns alunos não conseguem apreender noções de Aritmética, mesmo que já tenha abordado o assunto diversas vezes e de diversas maneiras.

A Aritmética precisa ser construída pela abstração reflexiva, pois “se a criança não consegue construir uma relação, nenhuma explicação do mundo fará com que ela entenda as afirmações da professora”.

Para a abstração de propriedades de objetos, Piaget usou o termo abstração empírica (ou simples). Para a abstração de número, ele usou o termo abstração reflexiva (abstraction réfléchissante). Na abstração empírica, tudo o que a criança faz é se concentrar numa certa propriedade do objeto e ignorar as outras. Por exemplo, quando ela abstrai a cor de um objeto, simplesmente ignora as outras propriedades, tais como peso e material com que o objeto foi feito (plástico, madeira, metal). (...) Abstração reflexiva, ao contrário, envolve a construção de uma reflexão entre objetos. Relações, como já foi dito, não têm uma existência na realidade externa. A semelhança ou diferença entre uma ficha e outra não existe na ficha em si. Essa relação existe somente nas mentes das pessoas. (...) Na realidade psicológica da criança uma não existe sem a outra. A criança não consegue construir a relação “diferente” se ela não puder observar propriedades diferentes nos objetos.

Nos períodos sensório-motor e pré-operacional, as duas abstrações são dependentes. Estas só irão se manifestar independentemente uma da outra em uma idade mais avançada. Se a criança constrói o número pela abstração reflexiva, ela conseguirá operar com números e fará 5+5 e 5x2 através dessa, como também terá a capacidade de operar com números grandes.

A distinção entre os dois tipos de abstração pode parecer sem importância, enquanto a criança está aprendendo números pequenos, vamos dizer, até 10. Quando ela chega a 999 e 1000, contudo, fica claro que é impossível aprender todos os números inteiros a partir de conjuntos de objetos ou fotografias. Números são aprendidos não por abstração empírica de conjuntos já feitos, mas por abstração reflexiva à medida que a criança constrói relações. É possível entender números tais como 1.000.002 mesmo sem tê-lo visto antes ou contado 1.000.002 objetos, dentro ou fora de um conjunto, porque essas relações são criadas pela mente.

Tanto Piaget quanto Miranda e Gil-llario, garantem que para o conceito de número ser elaborado pelas crianças é preciso que elas sejam capazes de conservar o número (terem certeza de que o todo está composto por um conjunto de partes que podem ser distribuídos de diversas maneiras sem que haja variedades), bem como terem noção de seriação (capacidade para ordenar elementos de uma série de funções de algum critério).

Deve-se compreender que cada número pode ser ordinal e cardinal; por exemplo, o número 5 é um símbolo de um conjunto que representa uma classe (princípio de cardinal idade), mas também pode representar o quinto (5º) lugar em uma série. Quando se é capaz de utilizar ambos os sistemas, se possui uma compreensão adequada do número, a qual abre caminho para as operações matemáticas.

Além disso, os teóricos assinalados ressaltam que para a criança se apropriar do conceito de número, é necessário que consiga estabelecer relações de ordem e inclusão hierárquica, essenciais para construir a sequência numérica e sistematizar as principais operações matemáticas, como a adição.

Para quantificar o conjunto de objetos, a criança tem que colocá-los numa relação de inclusão hierárquica. Essa relação significa que a criança inclui mentalmente “um” em “dois”, “dois” em “três”, “três” em “quatro” etc.

Isso significa seriar e, além disso, incluir em cada número todos os anteriores. O dois inclui o um, o três inclui o um e o dois, portanto, inclui o um três vezes e assim por diante. Desse modo a contagem envolve esquemas de inclusão de classes, significando, nesse caso, que cada número é constituído da adição repetida de uns e nessa construção a adição já está incluída.

Conferimos que não é fácil construir a estrutura hierárquica, portanto o exemplo dado a seguir verifica tal constatação.

São dados vários objetos às crianças, por exemplo, 6 cachorros miniaturas e 2 gatos do mesmo tamanho e pergunta-se: “O que você vê?” O pesquisador usa palavras do vocabulário da criança. Depois pede-se que a criança mostre todos os animais, todos os cachorros e todos os gatos, ainda usando um mesmo tipo de vocabulário. Depois de se certificar de que a criança entendeu bem todas as palavras, o pesquisador pergunta:
“Há mais cachorros ou mais animais?”
As crianças de 4 anos respondem logo: “Mais cachorros”, ao que o adulto pergunta: “Do que o quê?” “Do que gatos” é a resposta.
Em outras palavras, a criança não escuta a pergunta como ela foi formulada e sim: “Há mais cachorros, ou mais gatos?” A criança escuta uma pergunta diferente da que foi feita porque uma vez que ela mentalmente cortou o todo (animais) em duas partes (cachorros e gatos), a única coisa que ela consegue pensar é na divisão do todo. Para ela, naquele momento, o todo não existe.
Para comparar o todo com a parte, a criança tem que fazer duas ações mentais opostas ao mesmo tempo – cortar o todo em duas partes e colocar outra vez as partes no todo.
De acordo com Piaget, é exatamente o que a criança de 4 anos não consegue fazer. (...) Aos 7-8 anos, entretanto, o raciocínio das crianças se torna móvel o suficiente para ser reversível. Reversibilidade refere-se à capacidade de fazer mental e simultaneamente duas ações opostas. (...)
Por isso é tão importante, para as crianças, colocar todos os tipos de coisas (objetos, eventos, ações) em toda espécie de relações. Quando isso acontece, o raciocínio da criança torna-se mais móvel e um dos resultados dessa mobilidade é a estrutura lógico-matemática do número.

De acordo com Echeverría, resolver problemas faz parte da Matemática e do fazer matemático, uma vez que “a complexidade do mundo atual faz com que esse tipo de conhecimento seja uma ferramenta muito útil para analisar certas tarefas mais ou menos cotidianas”.

Uma das formas mais acessíveis para levar os alunos a aprender a aprender é a solução de problemas. Para Pozo (1998: 99), “é preciso tornar os alunos pessoas capazes de enfrentar situações e contextos variáveis, que exijam deles a aprendizagem de novos conhecimentos e habilidades”. Ele define que:

A solução de problemas baseia-se na apresentação de situações abertas e sugestivas que exijam dos alunos o domínio de procedimentos, assim como a utilização dos conhecimentos disponíveis, para dar resposta a situações variáveis e diferentes. Assim, ensinar os alunos a resolver problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de habituá-los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam responder, ao invés de esperar uma resposta já elaborada por outros e transmitida pelo livro-texto ou pelo professor.

A resolução de problemas já vem sendo analisada, discutida, e estudada há tempos, inclusive pelos educadores matemáticos, daí seu imenso valor no meio educacional e no ensino de Matemática. Observemos, de acordo com Dante, o que alguns teóricos comentam:

A real justificativa para se ensinar Matemática é que ela é útil e, em particular, auxilia na solução de muitas espécies de problemas. (Begle)

A razão principal de se estudar Matemática é para aprender como se resolvem problemas. (Lester Jr.)

A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral da instrução matemática desde o Papiro de “Rhind”. (Polya)

Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-problema. (Hatfield)

O currículo de Matemática deve ser organizado em torno da resolução de problemas. (NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática, EUA, 1980)

No mundo em que vivemos, resolver problemas não se restringe apenas em resolver exercícios ou problemas com soluções predeterminadas, mas “num processo dinâmico e participativo em que o indivíduo necessita de todo o seu conhecimento já adquirido na vida, no trabalho”. Dessa forma, a essência da resolução de problemas encontra-se “no processo de criação de estratégias e na análise, processada pelo sujeito, das várias possibilidades de resolução”. Consequentemente, a escola deve dar prioridade aos processos, no desenvolvimento do sujeito, e não somente ao produto final a solução, permitindo, de tal forma, um aluno “que atue, pense, questione, se arrisque, transforme e ouse propor soluções aos vários problemas que surgem, redimensionando sua forma de atuação na sociedade atual”.

A referida metodologia permite ainda, de acordo com Borin, o desenvolvimento de habilidades envolvidas no processo ensino-aprendizagem como: ”tentar, observar, analisar, conjecturar, verificar”, compondo, igualmente, o raciocínio lógico “que é uma das metas prioritárias do ensino de Matemática e característica primordial do fazer ciência”.

Algumas maneiras de resolver problemas aparecem naturalmente durante as atividades matemáticas. Quando o aluno se depara com a solução de um problema, ele apresenta uma atitude ativa e um esforço na busca de respostas e na busca do próprio conhecimento. Verificamos também, segundo Pozo que há uma série de “procedimentos e habilidades que são comuns a todos os problemas e que todas as pessoas colocam em ação com maior ou menor competência”, pois para ele, na resolução de qualquer problema, é preciso: prestar atenção, recordar e relacionar entre si certos elementos levando-se em consideração uma determinada ordem para podermos alcançar o objetivo proposto.

Segundo Dante, para relacionar a importância dos objetivos da resolução de problemas no processo de construção de conceitos matemáticos deve-se:

• Fazer o aluno pensar produtivamente: Se apresentarmos situações-problema que envolvam, motivem e desafiem o aluno a querer resolvê-las, estaremos atingindo a meta desejada;

• Desenvolver o raciocínio do aluno: Quando o aluno desenvolve a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e usa com inteligência e eficácia os recursos disponíveis, ele pode propor boas soluções aos problemas que surjam quer na vida escolar, quer no cotidiano;

• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas: Diante de tantos avanços tecnológicos, as crianças devem estar preparadas para lidar com situações inovadoras. Portanto é preciso desenvolver no aluno a iniciativa, o espírito explorador, a criatividade e a independência;

• Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática: Logo de início, os alunos tendem a detestar ou se tornam indiferentes à disciplina. Isso se deve ao exagero no treino de algoritmos e regras desvinculados de situações reais que pouco exigem um raciocínio ou um modo de pensar matemático para resolvê-los. Não basta que os alunos resolvam mecanicamente a operação, é preciso saber como e quando usá-las convenientemente na resolução de situações-problema;

• Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras: O objetivo aqui é fazer com que os alunos trabalhem de modo ativo individualmente ou em grupo. Eles devem ser incentivados e orientados pelo professor na aventura de buscar a solução de um problema que os desafie, em vez de ficar naquele esquema de explicar e repetir. Um bom problema pode despertar a curiosidade do aluno e desencadear um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo.

• Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas: Aqui precisamos desenvolver determinadas estratégias que, às vezes, se aplicam a um número grande de situações. Por conseguinte, auxiliará na análise e na solução de situações em que elementos desconhecidos são procurados.

• Dar uma boa base matemática às pessoas: O mercado de trabalho hoje requer pessoas que sabem tomar decisões rápidas e precisas, que têm iniciativa, criatividade, independência. Para isso é necessário formar cidadãos matematicamente alfabetizados que tenham autonomia de pensamento. E a resolução de problemas ajuda a desenvolver desde cedo a capacidade de enfrentar situações-problema em qualquer área.

A resolução de problemas requer domínio de técnicas e estratégias adequadas, já que permite o “desenvolvimento de habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração” (Borin, 1996: 08), possuindo uma postura crítica diante de situações que demandam respostas e contribuindo para a construção e organização do pensamento lógico-matemático. De uma perspectiva cognitivista, problemas servem para formar, enriquecer e reorganizar os conceitos matemáticos existentes.

Vamos analisar como devemos resolver problemas, quais estratégias e técnicas utilizar para podermos alcançar os objetivos propostos anteriormente. Não podemos deixar de levar em conta os vários conhecimentos, habilidades e competências que aparecem ao longo das atividades denominadas problemas, uma vez que alguns autores instituem alguns tipos e, por trás desses, Pozo especificamente afirma que diferentes (...) problemas exigem o acionamento de uma série de capacidades de raciocínio e de habilidades comuns que precisariam adaptar-se às características de cada tipo de problema. As diferenças individuais na maneira de resolver problemas não seriam devido tanto a diferenças nas capacidades das pessoas, como a diferenças entre as tarefas e a diferenças na aprendizagem dos alunos que as resolvem. Nesse sentido, a aprendizagem contribuiria para que o aluno se adaptasse cada vez melhor à estrutura da tarefa.

O referido teórico ainda os classifica de várias maneiras, pois defende, por exemplo, que para diferenciar um problema do tipo indutivo de um dedutivo vai depender do raciocínio necessário na resolução do mesmo. Para ele, (...) existem inúmeras classificações das possíveis estruturas dos problemas, tanto em função da área a qual pertence e do conteúdo dos mesmos, como do tipo de operações e processos necessários para resolvê-los, ou de outras características. (...) Fazer a demonstração de uma fórmula matemática poderia ser um exemplo de problema dedutivo, enquanto estabelecer regularidades no comportamento dos objetos em função do seu peso seria um problema do tipo indutivo.

Por sua vez, Dante classifica os tipos de problemas em: exercícios de reconhecimento; exercícios de algoritmos; problemas-padrão (simples e compostos); problemas-processo ou heurísticos; problemas de aplicação; problemas de quebra-cabeça.

Em contrapartida, vale ressaltar, segundo Pozo e Dante, a distinção entre exercício caracterizado por uma situação resolvida rapidamente utilizando-se, na maioria das vezes, de procedimentos automáticos, e problema, que exige sempre um processo de reflexão, tomada de decisão.

De forma sintética, podemos dizer que a realização de exercícios se baseia no uso de habilidades ou técnicas sobre-aprendidas (ou seja, transformadas em rotinas automatizadas como consequência de uma prática contínua). Limitamo-nos a exercitar uma técnica quando enfrentamos situações ou tarefas já conhecidas, que não representam nada de novo e que, portanto, podem ser resolvidas pelos caminhos ou meios habituais. Escrever estas linhas num computador, usando o programa de editor de textos que usamos habitualmente e que foi sobre-aprendido é um simples exercício. (...) Para tanto, deveríamos encontrar-nos numa situação na qual, propondo-nos um objetivo (por exemplo, inserir referências bibliográficas procedentes de um fichário em uma base de dados), desconhecêssemos a forma ou o caminho para alcançar esses objetivos e tivéssemos que buscá-lo a partir de procedimentos ou técnicas que conhecemos ou dominamos. Assim, um problema é de certa forma, uma situação nova ou diferente do que já foi aprendido, que requer a utilização estratégica de técnicas já conhecidas. O aluno que enfrenta pela primeira vez a tarefa de comparar duas sequências cronológicas ou calendários históricos diferentes pode encontrar-se diante de um problema, mas, quando já o tiver resolvido diversas vezes, o problema ficará reduzido a um exercício.

Entretanto, tais técnicas nem sempre representam um recurso eficaz para chegarmos à solução de um problema, uma vez que essas exigem atitudes, conceitos específicos, estratégias que temos dificuldades em expressá-las ou descrevê-las, como nos explica Lester. Faz-se necessário, desta forma, investigar como as pessoas chegam a essa ou aquela resolução, para podermos, então, entender melhor e aprimorar os processos que estão envolvidos na solução de problemas.

Dante entende que tais etapas “não são rígidas, fixas ou infalíveis”, pois somos nós, educadores, que devemos adaptá-las à prática utilizada no dia a dia de sala de aula de acordo com as especificidades de cada criança, cada grupo e cada região.

Mais uma vez percebemos que os conceitos assinalados se complementam e se integram. Dessa forma, nas aplicações dispostas a seguir, os temas aparecem espontaneamente em quase todos os assuntos citados. Cada professor deve adaptá-los, reorganizá-los e ajustá-los de acordo com a prática, o contexto em que os alunos se encontram e com a especificidade de cada região em que vivem.

Entretanto faz-se necessário ressaltar que nem sempre encontramos aplicação para tudo que ensinamos nas aulas de Matemática e também não devemos nos preocupar em somente ensinar aquilo em que encontramos aplicação, uma vez que “para nós, professores, a aplicação deve ser concebida como uma alternativa metodológica ou estratégia de ensino e não como uma panaceia que deve estar presente em todas as aulas”.

Atualmente, um dos termos mais utilizados para falar de Informática na Educação se denomina: Tecnologias da Informação e Comunicação – TIC. Portanto, nos utilizaremos dessa terminologia no lugar de Informática, uma vez que novas formas de comunicar, conhecer e informar surgem no cenário educacional com o advento da tecnologia.

As crianças do mundo contemporâneo convivem com inúmeros recursos digitais cotidianamente, o que permite que estabeleçam o tempo todo novas relações com o conhecimento, uma vez que utilizam a internet com facilidade, criam blogs e comunidades virtuais, baixam músicas e vídeos, comunicam-se através de redes de relacionamento como MSN, Orkut entre tantas outras ações mediadas pelas diversas mídias.

Em vista disso, propor que utilizem tais recursos na aplicação de conceitos matemáticos vai permitir que capacidades cognitivas como: memória, percepção, imaginação entre outras sejam potencializadas pelas TIC oferecendo-nos novas perspectivas na construção do conhecimento matemático, já que seu caráter lógico-matemático pode se tornar um grande aliado no desenvolvimento de habilidades, permitindo, assim, que os alunos aprendam com os erros, com os colegas, troquem e comparem suas produções.

É fundamental que o professor se aproprie das tecnologias e seus recursos para aplicá-los à Educação e à sua prática educacional, levando em conta quais objetivos e intencionalidades pedagógicas almeja. Vale ressaltar que as Tecnologias da Informação e Comunicação a todo o momento se aprimoram, se atualizam, se transformam, e as crianças se adaptam com a maior facilidade, porém cabe a nós, educadores, buscarmos uma formação contínua, uma vez que “qualquer mudança necessária a ser realizada no processo ensino-aprendizagem da Matemática estará sempre vinculada à ação transformadora do professor”.

Para Papert, empregar o computador na sala de aula requer certas ações que vão desde a forma como promovemos a construção do conhecimento até sua aceitação pela escola no momento em que permite que seu uso faça parte do desenvolvimento coerente da escola e gere novas possibilidades de trabalho.

O computador não exclui o professor, muito ao contrário, atribui-lhe novas situações-problema, novos desafios, novas responsabilidades. Papert posiciona o computador como algo que viabiliza a criação de situações mais propícias, ricas e específicas para a construção de conhecimento. (...) O professor precisa estar atento para não utilizar as TIC como fuga ou distração, no sentido de tentar inovar sua prática pedagógica erroneamente, só para dizer que utiliza informática em suas aulas. Ele precisa promover ambientes de aprendizagem para que os alunos possam sentir-se à vontade para discutirem sobre suas ideias com os demais colegas de classe e com o professor, o que pode não ocorrer com frequência nas salas de aula atualmente, onde somente o professor fala.

Uma das dez competências fundamentais dos professores que Perrenoud realça é a de tomar conhecimento das possibilidades e dominar os recursos computacionais existentes. Para ele “o ofício do professor redefine-se: mais do que ensinar, trata-se de fazer aprender”. Ao professor cabe (...) atualizar-se constantemente, buscando novas práticas educativas que possam contribuir para um processo educacional qualificado. Nesse contexto, o professor torna-se indispensável, tornando-se orientador do processo de aprendizagem, podendo dispor dos meios computacionais para atender aos alunos de forma diversificada, de acordo com suas necessidades.

Para tanto traçamos algumas sugestões com possíveis aplicações da Matemática nas Tecnologias da Informação e Comunicação, promovendo, assim, uma Matemática que, além de construir conceitos, construa juntamente uma significação aos mesmos.

Uma possibilidade é a linguagem de programação LOGO, proposta por Papert no Massachusetts Insitute of Technology (MIT) por volta dos anos 60-70, em que é possível trabalhar com a Geometria e com medidas buscando identificar regularidades, construir figuras geométricas.

Bossuet coloca que Logo designa ao mesmo tempo uma teoria de aprendizagem, uma linguagem de comunicação e um conjunto de unidades materiais que permite demonstrar os processos mentais empregados por um indivíduo para resolver um problema, num contexto de ação sobre o mundo exterior. Acrescenta ainda que “a teoria do conhecimento adotada por Logo faz uma síntese entre a concepção de Piaget sobre o desenvolvimento da criança e o estudo, em inteligência artificial, do problema do pensamento. A criança não é mais um objeto a ser modelado, educado. Ela torna-se sujeito”. Propõe-se, então, propiciar às crianças a interação com essa linguagem, para que elas também possam pensar mais concretamente a respeito dos processos mentais, pois a habilidade de articular os processos do pensamento dá a chance de melhorá-los.

Ressaltamos ainda o uso de programas como Word (editor de textos); Excel (planilhas eletrônicas) para construção de tabelas, gráficos, fluxogramas, bem como uma gama de jogos e desafios3 com o intuito de desenvolver o raciocínio lógico, presentes na internet, que permite aplicar atividades pedagógicas em um ambiente web. Cabe ao professor nortear, considerar e avaliar a importância e momentos apropriados para oferecê-los como propostas educacionais.

A construção de um blog (recurso de simples utilização que requer poucos conhecimentos técnicos) com os alunos também é um recurso rico no meio multimídia, uma vez que proporciona o debate, a comparação e a correção de respostas e permite que se trabalhe com crianças pequenas. Criar normas, regras de respeito e convivência, estabelecer limites de visita à página, favorecer as pesquisas são aspectos do blog que contribuem para o desenvolvimento pleno da criança. Destacamos também as possibilidades de ensinar às crianças a manipulação de inúmeras ferramentas tais como: hiperlink; buscadores; navegação por outros blogs; criação de e-mails. E mais: utilização da escrita matemática e da sistematização do cálculo mental; desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático na resolução de problemas; argumentação matemática; cooperação mútua e participação de todos na busca de uma resposta aceitável.

Portanto é imprescindível que os professores, amparados por novas perspectivas de trabalho, percebam que mudanças acontecerão e, a partir da implementação de ambientes informatizados, permitam que recursos, técnicas e ferramentas de multimídia colaborem com um aprendizado significativo dos conceitos matemáticos e quem sabe com a própria Matemática. A possibilidade de unir a Tecnologia com a Matemática de forma coerente e contextualizada dever-nos-ia parecer irresistível.

A importância no Tratamento da Informação é reconhecida, atualmente, nos mais diversos campos das pesquisas científicas e sociais no mundo dos negócios, constituindo, assim, ferramenta para outras disciplinas. Torna-se mais frequente a necessidade de compreender as informações veiculadas pelos meios de comunicação, como tomar decisões e fazer previsões que influenciarão tanto a vida pessoal quanto a toda a sociedade.

Esse tema permite aos professores trazer para a sala de aula o cotidiano presente nos diferentes meios de comunicação, tais como jornais, revistas, livros, televisão, e na vida de seus alunos e de sua escola.

O Tratamento da Informação envolve noções de estatística, combinatória, possibilidades e chances, como elementos do estudo de probabilidade, além de problemas de contagem que englobam o princípio multiplicativo, podendo ser desenvolvidos desde a Educação Infantil.

A Estatística é o campo da Matemática que estuda processos de obtenção, organização e análise de dados e métodos de tirar conclusões e até de fazer previsões sobre um fenômeno em estudo. Através da utilização de gráficos e tabelas, cujos assuntos abordados são veiculados pelos meios de comunicação e fazem parte do cotidiano, o aluno é capaz de desenvolver a habilidade de distinguir os dados importantes e necessários daqueles que não são úteis para a resolução de uma situação-problema.

Relacionar atividades com assuntos que interessem à criança é imprescindível para uma aprendizagem com significados. O trabalho com datas de aniversário é um exemplo. As crianças devem organizar uma lista com informações em que se estabeleçam alguns critérios na sua organização (ordem alfabética, meninas, meninos). A seguir analisam e avaliam se as informações são facilmente compreendidas, propondo, então, diversas maneiras de comunicar quem faz aniversário e em que mês, utilizando, se possível, a construção de um gráfico. Dados dos mais diversos, tendo como referência as próprias crianças, podem ser trabalhados e apresentados graficamente, tais como peso, altura, nacionalidade dos avôs, número de irmãos, músicas preferidas, times de futebol entre tantos outros.

“Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e é possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos”. Construir tabelas que mostram o comportamento do tempo (dias com sol, dias com chuvas, dias nublados); acompanhar as previsões do tempo pelos meios de comunicação permitem que as crianças façam algumas previsões somente observando os acontecimentos.

Para poderem construir gráficos, é preciso que o professor averigue se as crianças conseguem compreendê-lo, a partir da leitura e interpretação das informações representadas, podendo até solicitar que elaborem questões as quais eles tenham capacidade para respondê-las.

Problemas que envolvem possibilidades como o clássico problema dos apertos de mãos, possibilitam que se explorem as chances de quantificar as possibilidades. Noções elementares de Probabilidade (lançamento de dados, moedas) são desenvolvidas, como também o pensamento probabilístico, inserido nas aulas de Matemática como elemento auxiliar tanto na aprendizagem de Matemática quanto na interpretação dos fatos divulgados pelos meios de comunicação.

As crianças gostam de fazer apostas, desejando ganhar o tempo todo, por isso podemos sugerir atividades que propiciem o levantamento do número de ocorrências de um evento acontecer, e o que ocorre mais vezes tem mais chance de realizar. Um exemplo que ilustra a noção de probabilidade na Educação Infantil, de acordo com Lopes é: “se durante uma viagem rodoviária as crianças forem levadas a contar os automóveis que passam no sentido horário, classificando-os pela marca ou pela cor, apostar na marca ou na cor que aparece com maior frequência é ter uma chance maior de ganhar a aposta”.

Perguntar a alunos que conhecem a área do círculo, num jogo de tiro ao alvo, onde existe a maior chance de acertar: no círculo maior ou no círculo menor? O que dizer, então, para acertar na mosca? Uma discussão interessante é supor que os alunos sejam os donos do jogo e pedir que atribuam valores para o preço dos tiros e o pagamento dos acertos nos diferentes círculos. É claro que o dono do jogo deve ter sempre um lucro e para tal deve “medir a sorte”.

Ressaltamos, ainda, amparados pelos PCN, outras propostas de aplicação Matemática no Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental ou para a Educação Infantil, como ler e interpretar informações apresentadas em imagens, figuras, desenhos, fotos; criar registros pessoais para informar os dados coletados; explorar a função de número como código de organização das informações (linhas de ônibus, telefones, placas de carro, registros de identidade, calçados); interpretar e elaborar listas, tabelas simples, de dupla entrada, gráficos de barra, de linha, setor; produzir textos que tenham como base a interpretação dos dados das tabelas e dos gráficos; construir gráficos a partir das informações contidas em jornais, revistas, textos científicos; interpretar e calcular média aritmética e ponderada; explorar algumas ideias de probabilidade em situações-problema.

Constatamos que os mais diversos assuntos abordados pelo tema Tratamento da Informação possibilitam também discussões acerca dos temas transversais, propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, como Saúde, que pode permear outras áreas do conhecimento. Todas as atividades comentadas e sugeridas aqui perpassam pela construção de conceitos matemáticos já vistos nas unidades anteriores tanto para a Educação Infantil quanto para o Ensino Fundamental. Cabe ao professor adaptá-las, como já mencionado.

As formas utilizadas no Tratamento da Informação, tais como coleta, organização, comunicação e interpretação de dados, favorecem a compreensão de argumentos estatísticos pelos quais somos bombardeados, bem como nos ajudam a entender que a Matemática não se reduz ao verdadeiro e falso de suas proposições, nem que existem só o possível e o impossível, podendo ser construídas, através de observações, entrevistas, histórias de vida, pesquisa bibliográfica, questionários, observação empírica entre outros, existindo uma gama de procedimentos utilizados para esse fim.

A coleta de dados pode ser direta (coletados pela própria criança) ou indireta (feita por elementos conhecidos), podendo facilitar a comparação entre quantidades. Após a coleta, os dados são distribuídos de forma ordenada mediante critérios de classificação, favorecendo uma melhor interpretação. A análise dos dados pode ser feita através de inferências (dedução por meio de raciocínio) para chegar a conclusões ou previsões, e a apresentação dos dados é realizada pela comunicação (descrição/narração/exposição) dos dados que devem ser exibidos de forma adequada e com clareza por meio de gráficos, tabelas entre outros.