Dificuldades e Possibilidades no Ensino da Geometria

Segundo Oliveira a Educação de Adultos é uma prática tão antiga quanto a história da raça humana, ainda que só recentemente ela tenha sido objeto de pesquisa científica. A nossa herança judaico-cristã ocidental, por exemplo, com cerca de dois mil anos, apresenta na Bíblia Sagrada, fartos exemplos de relacionamento educacional adulto. Temos outros exemplos, na antiguidade, de personagens que foram educadores de adultos. Podemos citar, entre outros, Confúcio e Lao Tse na China; Aristóteles, Sócrates e Platão na Grécia antiga e Cícero, Evelid e Quintillian na antiga Roma.

Estes pensadores usavam do processo da indagação que levava os alunos a pensar e refletir sobre os fatos aprendidos ao invés de usar do recurso da transmissão simples e pura de conhecimentos, ou seja, suas técnicas para o ensino levavam os indivíduos à indagação para a resolução dos desafios propostos por seus mestres. A partir do século VII, surgem na Europa as escolas para o ensino de crianças que tinha como objetivo preparar jovens para o serviço religioso. Nestas escolas os professores ensinavam às crianças a doutrina da igreja.

Com a falta de estudos aprofundados que trouxessem subsídios para a educação em outras faixas etárias, toda a educação não só escolar como empresarial também, foi organizada baseada nestas idéias do século VII. Muito influenciado por John Dewey, em 1926, Eduard C. Lindeman publicou um trabalho chamado "The Meaning of Adult Education" que foi uma das maiores contribuições para a educação de adultos. Segundo Lindman a educação de adultos devia ser organizada através de situações e não de disciplinas, sendo que estas deveriam ser introduzidas apenas quando necessário.

Os textos e os professores tinham um papel secundário neste tipo de educação, a importância maior deveria ser dada ao aprendiz. Lindman ressaltava que um aspecto importante no professor de adultos era a humildade. Dizia que o conhecimento trazido pelo professor e a experiência trazida pelo adulto deveriam, unidas propiciar, aprendizagem tanto para o professor como para o aluno adulto. 

Nosso sistema acadêmico se desenvolveu numa ordem inversa: assuntos e professores são os pontos de partida, e os alunos são secundários. (...) O aluno é solicitado a se ajustar a um currículo pré-estabelecido. (...) Grande parte do aprendizado consiste na transferência passiva para o estudante da experiência e conhecimentos de outrem (...) nós aprendemos aquilo que nós fazemos. A experiência é o livro-texto vivo do adulto aprendiz. (Linderman)

Após Lindman, outros estudiosos se destacaram ao estudar como o adulto aprende e contribuíram para o que hoje temos na EJA. Entre eles, destacamos: Abraham H. Maslow e o psicoterapeuta Carl R. Rogers. Estes e outros pesquisadores deram suporte para o desenvolvimento da Andragogia como ciência da educação do adulto. Segundo Goecks, andragogia significa “ensino para adultos”. Um ramo da pedagogia que busca compreender o adulto como um ser psicológico, biológico e social. Ela tem em vista promover o aprendizado através da experiência, fazendo com que a vivência estimule e transforme o conteúdo em busca da assimilação. É o famoso “aprender fazendo”.

A andragogia dá muita importância à experiência no aprendizado. Segundo ela, a educação deve transformar o que já sabemos e não transmitir o que é sabido. Na essência, é um estilo de vida sustentado a partir de concepções de comunicação, respeito e ética, através de um alto nível de consciência e compromisso social. Considerando o mundo em que vivemos hoje, em pleno século XXI, um mundo onde as mudanças são rápidas, o estudo da andragogia torna-se cada vez mais necessário não só na educação escolar, mas também na educação empresarial onde a formação e a atualização de conhecimentos torna-se cada vez mais necessária.

Concluiremos este tópico com duas frases de Paulo Freire: em “Pedagogia do Oprimido” ele diz: Ninguém educa ninguém, nem ninguém aprende sozinho, nós seres humanos aprendemos através do mundo. Em “Pedagogia da Autonomia” ele diz: Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua produção ou a sua construção. No caso da nossa pesquisa, temos o foco no aluno adulto que traz consigo uma bagagem de conhecimento adquirida ao longo da sua vida e que não pode ser descartada pelo professor. A nossa proposta é buscar as dificuldades de ensino da geometria a este aluno e propor novas possibilidades pedagógicas, no formato de atividades para que este aluno tenha a possibilidade de voltar a estudar com sucesso e que as aulas de geometria auxiliam a formação deste aluno como cidadão.

De acordo com Neves e Carvalho, a Matemática é um veículo para a construção de novas perspectivas e convicções e que colabora para que se conheça a realidade, a cultura e a sociedade. Ela ajuda as pessoas a serem mais conscientes e críticas, pois estas, na sua aprendizagem, descobrem mais sobre si mesmas, sobre a sua realidade e sobre o mundo. Tornam-se capazes de fazer melhores julgamentos e de tomar decisões. Aprendem a duvidar e a perguntar, a ouvir opiniões, compará-las e respeitar o direito de escolha de cada pessoa. Vamos abordar alguns pontos que indicam a importância de se aprender matemática

• Ela contribui para o desenvolvimento de atitudes solidárias, de co-responsabilidade e de tolerância.
• Possibilita o desenvolvimento de pensamento e sua aplicação na solução de problemas do dia-a-dia.
• Favorece a realização de atividades ligadas ao mundo do trabalho.
• Permite o acesso a diferentes áreas do conhecimento.

Segundo Almeida e outros, a Matemática é uma disciplina com características muito próprias. Para estudar Matemática é necessária uma atitude especial, assim como para o ensino não basta conhecer, é necessário criar. A Matemática é utilizada praticamente em todas as áreas: na Economia, na Informática, na Mecânica, na Análise Financeira, entre tantas outras. Na nossa sociedade as ciências e as técnicas evoluem de maneira muito rápida, e a Matemática é um instrumento muito valioso para se acompanhar a crescente complexidade dos conceitos teóricos que se tornam necessários para acompanhar o progresso das tecnologias.

Desta maneira surge a necessidade de uma Matemática cada vez mais forte donde vem que a ciência Matemática é ensinada nos nossos dias em quase todo o mundo civilizado. A Matemática é, sem dúvida, o ramo da ciência que melhor permite analisar o trabalho da mente e desenvolver um raciocínio que se aplica ao estudo de qualquer assunto ou temática. Contudo, pela criação de hábitos mentais de que dificilmente nos conseguimos libertar, muitas são as dificuldades que os jovens encontram no seu estudo.

Da mesma forma, todas estas noções aparecem como se sempre tivessem existido no pensamento humano, originando-se não se sabe como, sem que todos se apercebam de que ela foi, e continua a ser uma constante e inacabada criação do ser humano. São muitos os problemas do mundo antigo que ainda hoje não têm solução e, por isso, constituem fontes incessantes de novos conceitos. Apesar de sempre evoluir, é notório o desenvolvimento da Matemática no século XX. Almeida acrescenta que ensinar Matemática sem explicitar a origem e as finalidades dos conceitos é contribuir para o insucesso escolar.

Sendo um dos objetivos fundamentais da educação criar no aluno competências, hábitos e automatismos úteis, bem como desenvolver capacidades, ele diz ainda é urgente implementar uma moderna educação Matemática, a qual estará relacionada com programas e métodos de ensino, o professor deve saber o que ensinar, o modo como o fazer e o porquê do que ensina. Hoje, o ensino da matemática na Educação Fundamental é organizado em quatro grandes blocos temáticos: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação. Dado o caráter de um trabalho de especialização optamos, nesta pesquisa a nos restringir em espaço e forma, ou seja, no ensino da geometria.

No início dos anos 2000, as secretarias da educação do Município e do Estado de São Paulo preocupados com a formação dos professores da primeira etapa do Ensino Fundamental que ainda não tinham graduação universitária, organizaram em conjunto com a Universidade de São Paulo (USP), com a Universidade Estadual Paulista (UNESP) e com a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC) organizaram um programa intitulado PEC – Formação Universitária que formou estes professores melhorando a qualidade de ensino das escolas públicas desta cidade e deste estado.

De acordo com a apostila de matemática utilizada por esse curso vamos relacionar, a seguir, aspectos sobre o ensino da geometria no Ensino Fundamental. Observando a natureza e os diversos objetos criados pelo homem, notamos que a geometria está em todos os lugares. Desde a antiguidade, a humanidade construiu conhecimentos de Geometria, como mostram, por exemplo, suas construções. As pirâmides do Egito revelam o alto grau de conhecimento que os egípcios tinham da Geometria. A palavra Geometria é derivada do grego geo que significa terra e metria, que significa medida. Assim, traduzindo ao pé da letra, temos que geometria deveria significar medida de terra.

Esta palavra surgiu devido à primeira utilização da geometria de que se tem conhecimento: a medida das terras próximas ao rio Nilo, no Egito Antigo, para que os homens daquela época pudessem desenvolver a agricultura nestes locais.

Como a geometria pode ser representada através de figuras, seus conceitos podem ser facilmente entendidos pelos alunos quando o professor usa de situações-problemas e de elementos concretos para o ensino desta disciplina. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) sugerem que o enfoque dos conceitos geométricos esteja articulado ao enfoque dos conceitos de números e medidas e a melhor maneira de se cumprir esta sugestão é através de problemas da vida real do estudante, seja ele criança, jovem ou adulto. Porém, analisando os livros didáticos tradicionais, a geometria é deixada sempre para a parte final destes, o que facilita com que o professor deixe este conteúdo para o final do período letivo e acabe, na maioria das vezes deixando-o de lado, além de que dificilmente faz esta inter-relação entre a geometria e as outras áreas da matemática não usando desta ferramenta que tanto facilitaria a seu trabalho.

Outro aspecto positivo do estudo da Geometria é que este pode ajudar no desenvolvimento da criatividade na medida em que o professor estimula seus alunos a buscar novos caminhos para a solução de problemas e cria condições para que os alunos comuniquem suas idéias. De acordo com os PCNs é importante permitir ao aluno “que as definições e as propriedades surjam de suas observações, mesmo que inicialmente imperfeitas, para, depois, por reformulações sucessivas, obter a forma final, formal e concisa” Montar e desmontar, compor e decompor figuras, recortar, dobrar, pintar, etc. são atividades que favorecem o desenvolvimento da criatividade dos alunos, bem como a compreensão de conceitos e princípios geométricos.

Desde o início da alfabetização podemos nos apropriar dos conhecimentos anteriores dos estudantes quanto a figuras planas e figuras espaciais ligadas ao seu cotidiano levando-os ao desenvolvimento da percepção e à discriminação de formas. Explorando estes objetos tridimensionais, o estudante pode distinguir figuras planas e não-planas, bem como estudar os atributos definidores de figuras geométricas e suas propriedades. No processo de ensino e de aprendizagem é muito importante a presença de exemplos para serem fornecidos aos alunos e que também que sejam obtidos deles, para evitar erros de generalização. O professor deve evitar dar exemplos com modelos únicos para que o aluno não pense que apenas naquela situação vale a definição. Por exemplo, ao apresentarmos o conceito de triângulo deve-se exemplificar com vários triângulos, diferentes entre si quanto ao tamanho dos lados e quanto ao tamanho dos seus ângulos.

A Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (UNESCO) é um ramo da Organização das Nações Unidas (ONU), fundada em 16 de Novembro de 1945, com o objetivo de contribuir para a paz e segurança no mundo mediante a educação, a ciência, a cultura e as comunicações. Em 1990, a UNESCO começou o Movimento Educação Para Todos 1 que é um compromisso mundial para promover uma educação básica de qualidade a todas as crianças e a todos os jovens e adultos. Esse movimento se iniciou durante a Conferência Mundial sobre a Educação para Todos que ocorreu nesse ano em Jomtien na Tailandia.

Nesta conferência, delegados de 155 países além de representantes de Organizações Não-governamentais destes países tiraram metas para a educação mundial para os dez anos seguintes que tinham como principal objetivo tornar a educação primária acessível a todas as crianças do mundo. Para que esse objetivo fosse alcançado foram traçadas algumas estratégias a serem seguidas, principalmente pelos países em desenvolvimento. Inspirado nestas estratégias a Secretaria Municipal de Educação da Cidade de São Paulo lançou as três primeiras proposições a seguir e acrescentou a quarta. Estas proposições foram sugeridas por um documento lançado pela Divisão de Orientação Técnica da Educação de Jovens e Adultos (DOT-EJA) da Secretaria Municipal de Educação, intitulada: Coleção Círculos de Formação, na qual o livro 3 trata especificamente de Matemática e é intitulado Mergulhados em Números: A Matemática na EJA em São Paulo.

Aprender é um processo:

A educação tem início no momento em que nascemos e se estende por toda a vida. Isso quer dizer que as pessoas, inclusive os educadores e os educandos, estão sempre aprendendo. E aprendendo nas mais variadas situações. Isso implica considerar que: além de conhecimentos e representações sobre situações vividas ou observadas, jovens e adultos pouco ou não escolarizados possuem valores, atitudes e crenças construídas em seus percursos, pessoais; a educação e o processo de aprendizagem ocorrem em diferentes momentos da vida das pessoas, na interação com os outros.

Aprender deve ter significado para os envolvidos no processo:

O processo educativo deve estar conectado às necessidades básicas das populações, portanto, os conteúdos ensinados e as aprendizagens esperadas devem levar em conta o que os jovens e os adultos precisam saber para viver de maneira plena; as escolhas sobre o que ensinar devem buscar soluções para os problemas do contexto em que vivem os educandos; as necessidades de aprendizagem das pessoas devem ser investigadas pelos educadores a partir do conhecimento da vida de seus educandos e da realidade dos locais em que vivem, tal investigação também deve ser feita pelos próprios educandos a partir da identificação dos problemas que os afetam e da busca de soluções para eles.

Aprender é o foco do processo educativo:

A aprendizagem deve ter lugar central no processo educativo. Desta maneira, o educador deve criar variadas oportunidades de aprendizagem, em vez de cumprir listas de conteúdos e de reproduzir práticas de ensino tradicionais; valorizar os saberes prévios que os jovens e adultos possuem e que são adquiridos em suas trajetórias de vida e considerar que se aprende muito mais do que aquilo que se deseja ensinar.

O papel do educador é fundamental como mediador do processo, assim deve possuir competências específicas desta profissão:

É necessário conhecer Matemática para poder conectá-la ao que os educandos consideram necessário aprender e, com isso, informar, formando. Isso quer dizer que, para fazer escolhas sobre quais aprendizagens são úteis e necessárias à vida e sobre como a Matemática pode colaborar para o desenvolvimento pleno das pessoas, é preciso que o educador conheça os objetos de que se ocupa a Matemática e possa adaptá-los para alcançar a aprendizagem; que se estabeleçam conexões entre os conteúdos da Matemática e o cotidiano, os saberes e as necessidades de aprendizagem dos educandos; que se redefina o papel do educador, visto não mais como aquele que expõe e transmite conhecimentos, mas como organizador das aprendizagens.

Para desempenhar este papel, ele precisa conhecer as condições de vida de seus educandos, o contexto em que vivem, seus saberes prévios, suas expectativas e necessidades de aprendizagem. Assim, poderá escolher conteúdos e atividades que possibilitem o alcance dos objetivos de aprendizagem traçados. O educador também é animador do processo de aprendizagem. Ele estimula a comunicação, a sistematização e a formulação de propostas por parte dos educandos e a cooperação entre todos; e finalmente que se redefina o papel do educando, para que ele seja capaz de fazer escolhas sobre o que quer aprender, a partir de seus saberes prévios e de suas reais necessidades. Ele deixa de ser aquele que nada sabe, capaz somente de receber informações produzidas, para ocupar um lugar central nas escolhas sobre o que e como estudar, compartilhando este lugar com os educadores.

Após muitas discussões ocorridas tanto dentro como fora do Brasil a respeito do crescente uso da matemática, nos diversos ramos de atividades da vida moderna, chegou-se à conclusão de que seria necessária sua adequação à nova sociedade que vem se formando. Estas discussões geraram análises e revisões no Currículo da Matemática no Ensino Fundamental. Para entender melhor estas novas propostas é necessário conhecer a trajetória das reformas curriculares ocorridas nos últimos anos e também analisar brevemente o quadro atual de ensino de Matemática no Brasil.

O ensino da matemática no Brasil sempre teve um caráter elitista e mesmo as reformas curriculares que aconteceram a partir dos anos 1920 não tiveram força suficiente para mudar este quadro. A prática dos professores de matemática continuou sendo elitista e com um alto índice de retenção, apesar das mudanças propostas a cada reforma que ocorria. Ainda hoje a prática docente nessa área é marcada pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos sem compreensão. A partir dos anos de 1960/1970, surge o movimento da Matemática Moderna que influencia o ensino da matemática não só no Brasil como em outros países também.

A Matemática Moderna surgiu atrelada a uma política de modernização econômica em que, juntamente com o ensino de Ciências, ela constituía uma via de acesso para o pensamento científico e tecnológico. Desta maneira, para atingir estes objetivos procurou-se aproximar a matemática desenvolvida na escola à matemática vista pelo ângulo de estudiosos e pesquisadores. Com esta proposta, a matemática passa a fundamentar-se em grandes estruturas que organizam o conhecimento matemático contemporâneo com ênfase na teoria dos conjuntos, nas estruturas algébricas, na topologia, etc.

A partir deste movimento muitas discussões e reformas curriculares surgiram não só no Brasil como em muitos outros países do mundo. Apesar de toda esta discussão e de todas estas propostas de reformas, deixou-se de considerar o principal: este currículo estava fora do alcance dos alunos, em geral, principalmente dos alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental e o excesso de formalização necessário para este tipo de ensino fez com que a Matemática se distanciasse cada vez mais das questões práticas da vida. A linguagem da teoria dos conjuntos, por exemplo, dá ênfase ao uso de símbolos e a sua terminologia complexa compromete o aprendizado do cálculo aritmético, da geometria, das medidas e de outros tópicos relacionados com estes.

No Brasil, o movimento Matemática Moderna, que era levado para os professores e alunos principalmente pelos livros didáticos, teve grande influência, durante longo período, só gerando discussões a respeito depois de algum tempo a partir da constatação de inadequação de alguns de seus princípios básicos e das distorções e dos exageros ocorridos.

Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dos Estados Unidos apresentou recomendações para o ensino de Matemática no documento “Agenda para Ação 2”. Nele, o foco do ensino da Matemática volta-se para a resolução de problemas para os anos 80. Este documento trazia também uma tendência à compreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, além dos cognitivos, na aprendizagem da Matemática e imprimiu novos rumos às discussões curriculares nesta área de conhecimento. Essas idéias influenciaram as reformas que ocorreram em todo o mundo, a partir de então. As propostas elaboradas no período 1980/1995, em diferentes países, apresentaram pontos em comum, como:

• O ensino da Matemática passa a ser visto como o caminho para a aquisição de competências básicas necessárias à formação de cidadãos e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores;
• O papel do aluno passa a ser de suma importância na construção do seu conhecimento;
• Enfatiza-se muito a resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas;
• Passa a ser importante o trabalho com uma quantidade maior de conteúdos, incluindo já no ensino fundamental, por exemplo, elementos de estatística, probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos;
• Considera-se a necessidade de levar os alunos a compreender a importância do uso da tecnologia e a acompanhar sua permanente renovação.

No Brasil, essas idéias vêm sendo discutidas e algumas aparecem nas propostas curriculares de Secretarias de Estado e Secretarias Municipais de Educação, sendo que temos exemplos de experiências bem sucedidas nesse sentido. No entanto, é importante salientar que ainda hoje nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com a linguagem da teoria dos conjuntos nas séries iniciais, a formalização precoce de conceitos, o predomínio absoluto da Álgebra nas séries finais e as poucas aplicações práticas da Matemática no Ensino Fundamental.

A análise das propostas curriculares oficiais, realizada em 1995 pela Fundação Carlos Chagas, mostra-nos que algumas propostas curriculares estaduais e municipais elaboradas recentemente ainda sofrem a influência desta proposta tecnicista. Nelas, a Fundação concluiu que os currículos se dividem em duas grandes famílias: os que são baseados totalmente na Teoria dos Conjuntos e os que reduziram seu uso ao mínimo. No entanto, estas propostas curriculares mais recentes ainda são desconhecidas da maioria dos professores que também não têm conhecimento claro sobre quais fatores motivaram as reformas. O que se vê, em geral, são ótimas e inovadoras idéias ficarem no papel, não serem incorporadas ou ainda serem incorporadas de maneira superficial e inadequada pelos professores, fazendo com que as mudanças desejadas não ocorram ou ocorram apenas parcialmente.

Muitos são os obstáculos que o Brasil tem enfrentado em relação ao ensino da Matemática, entre eles estão: falta de uma formação profissional qualificada, restrições ligadas às condições de trabalho, ausência de políticas educacionais efetivas e interpretações equivocadas de concepções pedagógicas. Porém, muito tem sido feito para melhorar esta situação, muita coisa inclusive com sucesso. Algumas escolas têm elaborado projetos educativos que atendem os interesses e necessidades da comunidade. Existem também professores que com iniciativas individuais ou em pequenos grupos vão à busca de conhecimentos que levam à reflexão e ao desenvolvimento de práticas pedagógicas mais eficientes para ensinar Matemática.

Em paralelo a isso, algumas universidades, secretarias da educação e outras instituições têm se preocupado em elaborar materiais de apoio para a prática do professor. Mas, essas iniciativas, embora de grande valor pedagógico, não chegaram ainda a alterar de modo favorável o quadro do ensino da Matemática no Brasil. A formação inicial e a formação continuada do professor de matemática ainda é insatisfatória, o que leva estes professores a se apoiar quase que exclusivamente nos livros didáticos que, em muitos casos, não possuem a qualidade necessária para servir de apoio para boas aulas.

Outro aspecto que é responsável pela baixa qualidade das aulas de matemática é a interpretação equivocada de concepções pedagógicas inovadoras que aparecem em muitas destas novas propostas. Por exemplo, a resolução de problemas que é o eixo norteador da maioria destas novas propostas ainda é usada de maneira inadequada na forma de listas enormes que usam única e exclusivamente a aplicação de técnicas e a memorização de conceitos que são aplicadas paralelamente ao ensino tradicional.

Outro equívoco que se apresenta com freqüência é a concepção linear do ensino da matemática, que, por vezes traz dúvidas quanto ao ponto de partida para e ensino dos conteúdos e que leva à opção pelos fundamentos de cada teoria e que, no caso da geometria, usa como referência inicial as noções de ponto, reta e plano, noções estas que exigem demais da abstração do aluno além de dificilmente se ligarem aos conhecimentos anteriores ligados à vida do aluno. Algumas recomendações são feitas aos professores no sentido de que os conteúdos sejam selecionados de modo a potencializar a aprendizagem das idéias fundamentais para a instrumentação para a vida ou ainda para desenvolver a forma de pensar do aluno, mas nem sempre são observadas pelos mesmos.

Outra recomendação que muitas vezes não é acatada é sobre a organização dos conteúdos que não deveriam ser organizados de forma hierarquizada e pela ideia de pré-requisitos, ou ainda de forma isolada, apresentados e esgotados em um único momento. O ideal seria que os conteúdos de matemática fossem desenvolvidos por etapas ao decorrer do curso, aprofundando-se a cada retomada sempre fundamentado e atrelado às vivências anteriores do aluno e fazendo-se conexões com outros conhecimentos do dia-a-dia, construindo, desta forma significados.

Outra questão a ser analisada é a que diz respeito à contextualização dos conteúdos que não deve se limitar às atividades do dia-a-dia do aluno, ma também deve ser realizada em conexão com outros aspectos da própria matemática ou ainda de outros ramos da ciência, da história e do conhecimento em geral. O ensino da História da Matemática também é de vital importância para proporcionar o entendimento mais amplo dos conteúdos matemáticos e suas aplicações.

Ela deveria se tornar um assunto específico a ser tratado nas aulas de matemática, ou seja, um dos conteúdos a fazer parte do planejamento nesta disciplina tomando-se o cuidado de não limitá-la a ser apenas a apresentação de fatos ou biografias de matemáticos famosos. O uso de recursos didáticos também deve ser melhor especificado nas propostas curriculares pois nem sempre são claras aos olhos dos professores gerando, muitas vezes expectativas indevidas e resultados finais desastrosos quanto ao desempenho dos alunos nesta disciplina.

Levando-se em consideração as provas aplicadas pelo Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educação Básica (SAEB) nos anos de 1993 e 1995, o desempenho na disciplina de matemática diminui quando aumenta o número de anos de escolarização destes alunos o que nos leva a concluir que no ensino da matemática existem problemas antigos e problemas novos a serem resolvidos, ou seja, não basta que sejam feitas novas propostas de ensino se elas não forem aplicadas adequadamente.

Para que possamos propor um currículo de Matemática no Ensino Fundamental é necessário inicialmente discutir a natureza desse conhecimento e refletir acerca de suas principais características e de seus métodos particulares, de modo a conhecer seu papel no currículo a fim de contribuir para a formação da cidadania.

A matemática é uma ciência viva que deve ser usada como forma de compreender e atuar no mundo. Existem duas maneira indissociáveis de se impulsionar o trabalho em matemática: uma delas é pelas aplicações às mais variadas atividades humanas, desde as mais simples na vida cotidiana até as mais complexas na elaboração de outras ciências e a outra maneira de se impulsioná-la é a partir da especulação pura, ou seja, a busca de respostas para questões geradas pela própria Matemática. Além disso, o aspecto estético merece atenção, como nos trabalhos com o ensino inicial de geometria onde sistemas abstratos ideais organizam-se e se inter-relacionam revelando fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados quase sempre a fenômenos do mundo físico. Mudanças de paradigmas também surgem com a evolução destas teorias, como ocorreu, por exemplo, quando se superou a visão de uma única geometria, a euclidiana, com o surgimento dos modelos geométricos não-euclideanos que são logicamente consistentes e que podem modelar a realidade do espaço físico.

Vale a pena lembrar que a matemática que conhecemos hoje surgiu no período de 700 a.C. a 300 d.C. e que só atingiu a sua maturidade no final do século XIX, com o surgimento da Teoria dos Conjuntos e o desenvolvimento da Lógica Matemática. Convém também ressaltar que existem inúmeras teorias matemáticas que por caminhos diferentes relacionam-se com o mundo físico, além de que o relacionamento com o acaso tornou-se maior no mundo atual com o advento da era da informação e da automação que tornaram os cálculos numéricos e algébricos mais rápidos e precisos, o que aumentou as possibilidades de resolução de problemas que hoje podem ser abordados e resolvidos usando-se o conhecimento matemático.

Segundo os PCNs, as finalidades do ensino da Matemática visando a construção da cidadania indicam como objetivos do ensino fundamental levar o aluno a:

• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
• Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico);

• Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;
• Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;
• Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções;
• Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Atualmente, há consenso acerca dos currículos de Matemática para o Ensino Fundamental devam contemplar o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão tratar as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos e a raciocinar utilizando idéias relativas à probabilidade e à combinatória.

O estudo do espaço e da forma é necessário, devido às possibilidades de ocupação do espaço, com a localização e deslocamento de objetos no espaço, vistos sob diferentes ângulos, em virtude de que situações cotidianas e também muitas profissões como a engenharia, a arquitetura, a decoração, a bioquímica, a mecânica, etc., que necessitam de um pensamento geométrico e da observação do espaço tridimensional. No entanto, o ensino da geometria, na educação tradicional é deixado para segundo plano e muitas vezes confundido com o ensino das medidas o que é ruim, haja vista a possibilidade que ela proporciona de desenvolver um pensamento particular que ajuda a compreender, organizar e descrever o mundo em que se vive.

Além de ser um campo fértil para o aprendizado a partir da resolução de situações-problemas devido ao desenvolvimento da capacidade de argumentar e construir demonstrações. A aprendizagem da geometria desenvolve as habilidades de percepção espacial, de elaboração de um sistema de propriedades geométricas e também de uma linguagem que permita agir nesse modelo e a permita codificação e decodificação de desenhos.

Para desenvolver estas habilidades, o documento sugere atividades tais como elaboração de mapas geográficos fazendo a relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas geográficas, a confecção de maquetes tridimensionais e atividades de classificação de figuras geométricas com base na observação de suas propriedades e regularidades, além de atividades de ladrilhamentos, tangrans e poliminos, atividades estas que num segundo momento servirão de trampolim para o estudo das medidas. O uso de softwares específicos também é recomendado.

O estudo de temas geométricos possibilita ainda a exploração de interessantes aspectos históricos uma vez que sabemos que a Geometria é um dos ramos mais antigos da Matemática e que se desenvolveu em função de necessidades humanas. Notamos que dentro dos PCNs não há um item específico que trate da seleção de conteúdos para o ensino da geometria na modalidade EJA. No entanto há o documento que surgiu durante o Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA) que trata dessa modalidade de ensino e será analisado na seqüência.

Há também o documento expedido pela Secretaria da Educação da Cidade de São Paulo e enviado para as escolas municipais desta cidade no início de 2007. Nesse documento essa Secretaria discute o que espera que seja ensinado sobre matemática nessas escolas. A partir destes três documentos procuraremos fazer uma adaptação dos conteúdos e das atividades a serem utilizadas nas aulas de geometria na modalidade EJA, uma vez que não existe um documento específico que trate deste assunto.

Em 2002, o Ministério da Educação (MEC) e o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) organizaram o Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA) que gerou uma série de documentos com referenciais para a Educação de Jovens e Adultos. Entre eles, temos o Livro Introdutório: Documento Básico de onde tiraremos algumas diretrizes relacionadas ao ensino da Matemática no Ensino Fundamental da EJA. Segundo esse documento, o aprender matemática é um direito básico desses jovens e adultos e, portanto o papel desta área de conhecimento é atender suas necessidades individuais e sociais. A falta de domínio do pensamento matemática dificulta o acesso às posições de trabalho, uma vez que a nossa sociedade depende cada vez mais do conhecimento tecnológico.

Segundo o documento, quando se pensa a educação matemática e sua apropriação por jovens a adultos com pouca escolarização, temos que:

• Jovens e adultos têm o direito de se apropriar de conhecimentos matemáticos para não serem discriminados, inferiorizados;
• Jovens e adultos têm o direito de se apropriar de conhecimentos matemáticos, de forma coerente e compatível com os saberes que construíram ao longo de sua vivência.

Desta forma, a Matemática ensinada deve ter por um lado, um caráter prático para que este sujeito possa utilizá-la nos problemas do seu dia-a-dia, e por outro lado deve contribuir para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico-matemático. Quanto maior a quantidade de conhecimentos trabalhados com estes alunos, maior será a contribuição no sentido de torná-los cidadãos inseridos na sociedade e no mundo da tecnologia e do trabalho. Desta forma, não se deve restringir o ensino da Matemática ao ensino da aritmética e a álgebra, mas também à geometria, ao estudo das medidas e também a atividades que envolvam o raciocínio combinatório e probabilístico e às análises estatísticas.

Além disso, o aluno deve adquirir competências que o levem a estimar resultados e a usar a tecnologia disponível, como por exemplo, no uso das calculadoras eletrônicas e do computador. Um aspecto importante é o que envolve a contribuição das aulas de matemática na aprendizagem e domínio da língua materna. Desta forma, sempre que possível, o professor de Matemática deve apresentar situações onde o aluno deve ler e interpretar problemas com situações matemáticas por meio do raciocínio e também sugerir que o aluno elabore pequenos textos ou ainda relatórios, em que ele tenha que treinar o ler e o escrever mesmo que esteja neste momento aprendendo Matemática.

Ao resolver problemas matemáticos, os alunos descobrem-se capazes de raciocinar e encontrar soluções diante de desafios não só matemáticos, mas do seu cotidiano também, possibilitando o exercício da cidadania em sua plenitude. Concluindo, para dimensionar o papel da matemática na formação de um jovem ou de um adulto é importante que se discuta, de um lado, a natureza desse conhecimento, suas características principais e seus métodos particulares; de outro, é fundamental discutir suas articulações com outras áreas de conhecimento e suas efetivas contribuições para a formação da cidadania e para a constituição de sujeitos da aprendizagem.

No início de 2007, a Secretaria de Educação da Cidade de São Paulo enviou para as Escolas Municipais de Ensino Fundamental dessa cidade um documento intitulado:

Matrizes de Matemática, a Matemática no Ensino Fundamental que, entre outras coisas, mostra o foco que o Ministério da Educação espera que se dê ao Ensino da Matemática no Ensino Fundamental.

Este documento diz que a Matemática como um corpo estático e acabado de conhecimentos produzidos por algumas cabeças geniais, foi reavaliada e que desde meados do século passado considera-se a interdependência da matemática com as outras áreas de conhecimento. Diz ainda que a Matemática deva ser considerada como a construção do conhecimento que trata das relações qualitativas e quantitativas entre espaço e tempo e que esta é uma atividade humana que trata de padrões, da resolução de problemas, do raciocínio lógico, etc., na tentativa de compreender o mundo e fazer uso deste conhecimento.

Segundo este documento, a grande maioria das profissões e trabalhos técnicos exige conhecimentos de Matemática, ou seja, desenvolver competências matemáticas é parte fundamental na Educação das crianças, pois as idéias e os conceitos matemáticos são ferramentas para atuar sobre a realidade e o mundo que as cerca. O conceito de competência dá ênfase ao que o aluno é capaz de fazer com os conhecimentos que adquiriu muito mais do que o domínio formal dos conceitos. A alfabetização Matemática deve fornecer competências para que o aluno seja capaz de analisar, raciocinar e comunicar o enunciado, a formular e a resolver problemas em contextos e situações as mais diversas.

Desta forma, ao término do Ensino Fundamental, o aluno deverá ser capaz de utilizar o que aprendeu em situações usuais da vida cotidiana e não se restringir apenas a mostrar o conhecimento dos conteúdos desenvolvidos em suas aulas. Assim sendo, o documento sugere que se ensine a Matemática organizada de modo a atender as grandes áreas temáticas: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação. Como nosso foco é a geometria, vamos transcrever o que o documento diz a respeito do item “Espaço e Forma”.

Em Espaço e Forma – em geral vinculados à Geometria, trabalham-se com fenômenos e relações geométricas e espaciais, levando o aluno a observar semelhanças e diferenças, analisar os componentes das formas, reconhecê-las em suas diferentes representações e dimensões, entender as propriedades e as posições relativas dos objetos. As formas podem ser consideradas como “regularidades” e, as regularidades se encontram em toda parte – na fala, na escrita, no tráfego, nas construções, na música, nas folhas de árvores, nos edifícios, na arte, etc. O estudo das formas, intimamente ligado ao conceito de “percepção espacial” implica em aprender a reconhecer, explorar e mover-se com maior conhecimento no espaço em que se vive; entender a representação em duas dimensões dos objetos tridimensionais; entender e interpretar as sombras; compreender o que é perspectiva e como funciona; entender a relação entre formas e imagens ou representações visuais, por exemplo, as relações entre um objeto e sua fotografia.

Existe uma complexidade tocante às relações entre Geometria como campo unicamente da Matemática e como análise do espaço que nos cerca. A geometria, lida com relações entre objetos reais, objetos teóricos e sua origem, está em trabalhos práticos reais e, ao mesmo tempo, em teorias abstratas. A ideia de simetria, por exemplo, podemos encontrá-la no artesanato de diversas culturas, mas também na matemática ela é interpretada como transformações de pontos no plano. Muitos profissionais, tais como vidraceiros e carpinteiros usam da geometria empiricamente, apesar de seus conhecimentos poderem ser comprovados teoricamente. Existem algumas competências necessárias para se estabelecer o pensamento geométrico, tais como: experimentar, conjecturar, representar, estabelecer relações, comunicar, argumentar e validar.

Experimentar significa “pôr a prova”. Um professor pode oferecer materiais concretos ao aluno para que ele chegue, por meio de experiências como manipulação, contemplação e também de conjecturas para chegar aos conceitos geométricos e até a generalizações válidas. Um bom exemplo seria o de um professor oferecendo várias varetas de tamanhos diversos para que os alunos construam triângulos. A partir de tentativas os alunos poderão chegar a conclusões importantes que relacionam o tamanho dos lados e a possibilidade da construção de triângulos a partir destes.

Neste momento, é importante que o professor deixe claro que essas conjecturas levam a generalizações e conceituações. Além disso, elas só podem ser aceitas quando demonstradas formalmente e que a ciência se desenvolveu com o passar do tempo desta forma. É importante considerar, ainda que inicialmente e intuitivamente, que a metodologia científica valida os experimentos e conjecturas via demonstrações rigorosas.

Segundo Crowley (1994), o método desenvolvido pelo casal Dina van HieleGeldof e Pierre van Hiele pode ser utilizado para medir o nível de maturidade geométrica do aluno. Este método foi o resultado das teses de doutoramento do casal finalizados simultaneamente na Universidade de Utrech. Esse modelo sugere que os alunos progridem segundo uma seqüência de níveis de compreensão de conceitos. O progresso para o nível seguinte se dá pela vivência de atividades adequadas. Segundo Van Hiele, cada nível de aprendizagem é caracterizado por relações entre os objetos de estudo e linguagens próprias.

Consequentemente, não pode haver compreensão quando as propostas de aprendizagem são apresentadas num nível mais elevado do que aquele atingido pelo aluno. Com cinco níveis hierárquicos, Van Hiele estabeleceu que o aluno só atinge determinado nível de raciocínio após passar por todos os níveis inferiores. Esta pode ser uma explicação para as dificuldades apresentadas pelos alunos quando engajados num curso sistemático de Geometria sem a necessária vivência prévia das experiências nos níveis anteriores.

Um aspecto peculiar do ensino da Geometria está na ambiguidade do papel das representações gráficas: elas são ao mesmo tempo objetos reais e teóricos. Podemos estabelecer uma diferença entre “desenho” e “figura geométrica”. O desenho é uma representação gráfica de um objeto matemático. A figura geométrica já é um objeto matemático ideal, isto é, uma criação mental do espírito. O espaço se apresenta para o aluno de forma essencialmente prática: ela constrói suas primeiras noções espaciais por meio dos sentidos e dos movimentos.

Esse espaço percebido por ele, chamado espaço perceptivo, possibilitará a ele, mais adiante, a construção do espaço representativo. O espaço que percebemos é o que contém objetos perceptíveis por meio dos sentidos, ou seja, um espaço sensível. O ponto, a reta e o quadrado não pertencem a esse espaço. Podem ser concebidos de maneira ideal, mas, rigorosamente, não fazem parte desse espaço sensível.

Pode-se, então, dizer que a Geometria parte do mundo sensível e o estrutura no mundo geométrico (dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos). É multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço que o aluno vai aprender e, desse modo, construir uma rede de conhecimentos relativos à localização e à orientação que vai lhe permitir penetrar no domínio da representação dos objetos e, assim, se distanciar do espaço sensorial ou físico. A compreensão das relações geométricas pelos alunos supõe sua ação sobre objetos.

No entanto, é bom ter cuidado para não confundir isso com falsas idéias segundo as quais se imagina que basta mostrar objetos geométricos aos alunos para que estes os conheçam, ou que basta enunciar suas propriedades para que os alunos delas se apropriem. A questão que se pode levantar, então, é: como passar de um espaço a outro? Provavelmente, é o aspecto experimental que vai colocar em relação esses dois espaços; o sensível e o geométrico.

De um lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver e explicar o que se passa no espaço sensível e, de outro, vai permitir o trabalho sobre as representações dos objetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos reais para raciocinar sobre representações mentais, o que constitui, enfim, a própria ação Matemática. Desta forma temos os aspectos heurísticos se articulando com os estéticos e as inferências. Nesta situação, a matemática e a heurística se articulam de modo a facilitar a aprendizagem a se atingir a representação como competência.

Desde as séries iniciais, os alunos podem ampliar ou reduzir figuras, trabalhando sobre malhas quadriculadas, em diversas situações. Trabalhando com malhas variadas, eles poderão discutir em que casos há deformação da figura dada e em que casos as figuras são semelhantes. Se o professor propuser uma atividade geométrica para o seu aluno e depois convidá-lo a escrever um texto explicando quais os caminhos usados para desenvolvimento da atividade, este estará usando também a comunicação como competência.

Este tipo de atividade, em que é preciso comunicar o que está sendo percebido, é tão importante quanto à descoberta em si. A comunicação precisa fazer parte das aulas de matemática. Neste caso, aspectos heurísticos novamente se articulam com aspectos estéticos e inferências a exemplo do que já aconteceu na representação como competência.

Após a proposição de uma atividade geométrica, é preciso que o professor peça que os alunos anotem as regularidades notadas no decorrer da atividade e argumente quanto a propriedades que poderão decorrer destas regularidades. Estas argumentações são importantes para a aprendizagem da geometria uma vez que ajuda a desenvolver o pensamento geométrico e generalizações importantes.

Jean Piaget (1896-1980), biólogo suíço, por meio de seus estudos acerca do desenvolvimento cognitivo e da construção do pensamento lógico-matemático, deu uma grande contribuição para o ensino da matemática no sentido de entender como o aluno aprende construindo conhecimentos. Piaget não foi o primeiro a estudar como a aprendizagem se processa na educação matemática, antes dele outros trabalhos como os de Pestalozzi, Froebel, Maria Montessori, Decroly e Dewey contribuíram no sentido de entender como a criança processa a aprendizagem da matemática, cada um de seu modo e ao seu tempo.

Piaget nunca foi nem pretendeu ser pedagogo, na verdade ele era um epistemólogo que procurou indagar como se produziam os novos conhecimentos durante o processo de desenvolvimento humano, dando uma contribuição fundamental ao ensino da matemática por meio do entendimento de como a aprendizagem desta disciplina se processa. No seu livro A gênese do número na criança, lançado em 1941, Piaget em conjunto com Alina Szeminska, discorre sobre como são construídos os conceitos de número, as noções temporais, as representações de espaço, os conceitos de velocidade, a medição, as primeiras noções geométricas e as representações simbólicas nas crianças.

Esse trabalho nos traz dados inéditos sobre a construção do conhecimento matemático nas crianças. No entanto, iremos nos ater a outra contribuição de Piaget e seus seguidores que não trata da construção de noções e conceitos propriamente ditos, mas que faz a diferença de muito do que hoje se pensa, se escreve ou se diz sobre a matemática na escola, construindo diretrizes para uma didática da matemática.

Segundo Becker, para Piaget, nos tornamos matemáticos enquanto construímos as estruturas de pensamento que nos levam a pensar matematicamente. Piaget apresenta três tipos de conhecimento que a criança usa para se relacionar com o mundo; o conhecimento físico, o conhecimento social e o lógico-matemático e para usar destes conhecimentos precisa de uma estrutura lógico-matemática para construir conhecimentos sobre o mundo físico e social. No caso dos objetos matemáticos, que não existem de forma acabada, é necessário que a criança os crie interiormente, não basta que alguém os apresente de fora para dentro para que elas os interiorizem.

As crianças elaboram seu conhecimento lógico-matemático à medida que constroem relações mais complexas sobre outras mais simples que elas mesmas criaram. Para ampliar seus conhecimentos matemáticos não basta que alguém transmita estes conhecimentos à criança, é necessário que ocorra um processo interno ao sujeito. Desta forma, antes das pesquisas de Piaget, acreditava-se que a criança aprendia matemática devido a ações do adulto e devido a repetições de fatos conhecidos pelos adultos até que as crianças se familiarizassem a eles.

Após os estudos de Piaget houve uma mudança significativa na didática da matemática, uma vez que se refletiu sobre o fato da aprendizagem da matemática não ocorrer por transmissão social de um adulto que fala a uma criança que ouve passivamente, mas sim do professor que cria condições para que o aluno aprenda, daquele que desafia o mesmo a aprender, a pensar por si só, a analisar e a questionar aquilo que a escola deseja que ele aprenda. Desta forma o papel do professor deixa de ser apenas o de ensinar, mas passa a ser o de mediador da aprendizagem e o aluno deixa de simplesmente aprender um conteúdo para atribuir um significado para aquilo que aprende.

A partir desta ideia muda o papel de professor que não é mais de transmitir, mas de criar as condições para que o aluno aprenda, de desafiá-lo a pensar por si mesmo, a analisar, a questionar aquilo que a escola deseja que ele aprenda. A visão de Piaget do ser humano é a de um ser que além de modificar o meio em que vive, tem a capacidade de modificar a si mesmo e é esta transformação que origina o conhecimento. Desta forma, surge o construtivismo que é uma interação entre a condição que os seres humanos dispõem ao nascer e sua atividade transformadora do meio.

Nesse sentido, o conhecimento não é algo que se produz sem razão, mas sim é o resultado de um processo adaptativo decorrente de uma necessidade. O sujeito encontra uma necessidade e para enfrentá-la precisa modificar seus conhecimentos antigos abandonando crenças anteriores para poder dar um passo adiante. Por isso o conhecimento é um processo de criação e não de repetição.

Para Piaget, ao nos referirmos ao pensamento lógico-matemático, para que haja uma aproximação entre as estruturas de pensamento do professor e do aluno é necessário considerar que a compreensão real de uma teoria, por parte daquele que a desenvolve ou estuda, supõe sua reinvenção por esse sujeito. Isso não quer dizer que o professor já não seja necessário, seu papel não deve consistir em ministrar aulas, lições, mas em organizar situações que levem o aluno a investigar, utilizando dispositivos apropriados, o que nos leva a uma didática de matemática baseada na resolução de problemas.

O professor deve propor aos alunos problemas que o desequilibrem naquilo que sabe, fazendo com que todo o conhecimento de que dispõe seja revistado, vasculhado, complementado, ampliado, dando lugar a novas e mais complexas relações. Segundo Seymour Papert, “a função da matemática escolar é ensinar os alunos a serem matemáticos em vez de ensinar matemática a eles”. Para entender este pensamento devemos procurar saber como Piaget via o ser matemático. Segundo ele não se define um matemático pelo conhecimento que ele tem de uma série memorizada de fatos matemáticos, tampouco porque conhece o trabalho de muitos outros matemáticos. Ser matemático implica pensar e fazer, resolver problemas originais ou dar a eles uma nova interpretação, gerando conhecimentos novos, mais do que conhecendo aqueles já existentes.

Segundo Pulaski, para Piaget as crianças apreendem primeiramente as figuras topológicas, muito antes de assimilarem as figuras geométricas euclidianas. Segundo esse autor, aos três anos uma criança é capaz de distinguir figuras abertas e figuras fechadas, mas ao se pedir que copie um quadrado ou um triângulo, ela desenhará um círculo fechado. Se lhe solicitarmos a cópia de figuras abertas, desenhará simplesmente curvas abertas. Já se pedirmos que copie um círculo dentro de outro círculo, copiará adequadamente. Apenas depois dos cinco anos, ela começará a desenhar quadrados, e somente mais tarde conseguirá copiar adequadamente, como exige a geometria euclidiana, um retângulo com seus ângulos e lados. Após os sete anos, a criança passa a assimilar a relação projetiva.

Outro aspecto do desenvolvimento da criança abordado por Pulaski é a noção de egocentrismo 5 que Piaget trata muitas vezes ao longo de sua obra. Segundo esta autora, o egocentrismo é uma característica da criança que não reconhece objetos familiares quando vistos sob um ponto de vista diferente daquele que está acostumada a visualizar. Por exemplo, ao se apresentar uma maquete que contenha montanhas e desenhos que mostram estas montanhas vistas sob pontos de vista diferentes, a acriança não consegue identificar todos os desenhos como sendo da mesma montanha. Somente após os nove ou dez anos a criança consegue distinguir, com acuidade, as diferentes perspectivas possíveis e coordená-las.

Quanto ao aluno adulto, que é o foco principal do nosso trabalho, vamos ver o que o grupo de pesquisa NEA-FEUSP (Núcleo de Educação de Jovens e Adultos e Formação Permanente de Professores da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo) nos tem a dizer. Para Piaget, o desenvolvimento intelectual do ser humano se processa sob dois aspectos: o motor ou intelectual e o afetivo, denominados por Piaget de “estágios de desenvolvimento” distribuídos de acordo com a idade da criança: o primeiro é o estágio sensório-motor (do nascimento até os dois anos de idade); o segundo dividi-se em dois sub-estágios, o de preparação para as operações lógico-concretas (2 a 7 anos) e o de operações lógico-concretas (7 anos a adolescência).

A partir daí até a idade adulta, configura-se o estágio da lógica formal, ou seja, quando o pensamento lógico alcança seu nível maior de equilíbrio. Convém lembrar que, para Piaget, a inteligência é uma adaptação que ocorre à medida que o indivíduo vai enfrentando situações novas e interagindo com o meio que o circunda, ou seja, ele não apenas responde ao mundo que o circunda, mas também atua sobre ele. Para isso, o indivíduo usa dois componentes: a assimilação (processo cognitivo de colocar ou classificar novos eventos em esquemas existentes) e a acomodação (processo de modificação de um esquema ou uma estrutura em função das particularidades do objeto a ser assimilado). O equilíbrio entre a assimilação e a acomodação é chamado de adaptação.

Outra variável presente na teoria de Piaget é a motivação do estudante, onde o professor deve organizar o ambiente de modo a estimular o aluno a aprender no seu próprio ritmo, de modo que os seus interesses sirvam de guia livre para a aprendizagem. Interessante notar que essa variável observa-se na EJA uma vez que o aluno adulto sai do seu trabalho, em geral estafante, e vai direto para a escola, encontrando nela um mundo novo que lhe causa estranhamento ou até medo.

De acordo com esse grupo (NEA) se a educação desse adulto for planejada de acordo com os princípios de Piaget, de modo que ele manipule objetos do seu ambiente, possa transformá-los encontrando sentido para os mesmos, intervindo em seus diferentes aspectos até adquirir condições de fazer inferências lógicas internamente, desenvolvendo novos esquemas e novas estruturas, o estudante chegará através de uma seqüência de desequilíbrios sucessivos, seguidos de adaptações, ao conhecimento.

Entretanto, existe uma diferença crucial entre o aluno adulto e o aluno criança. A diferença é que quando o aluno adulto chega à escola, ele já percorreu todos os estágios do desenvolvimento o que cria um desafio para o educador que é recuperar a capacidade deste aluno de combinação e interação, principalmente quando se trata de idéias abstratas. Aliado a isso, gostaríamos de observar que na pesquisa de Luria, existem comportamentos que são típicos de grupos “pouco letrados” e outros típicos de grupos de letrados, como veremos a seguir.

Grupos culturais “pouco letrados” integrados nas complexas sociedades contemporâneas, onde há grande influência do conhecimento científico e dos meios de comunicação em massa tendem a ser homogêneos do ponto de vista social. A denominação “pouco letrado” não diz respeito a nenhuma classificação técnica do grau de alfabetização desses indivíduos, mas sim à condição decorrente da falta de oportunidade de interação intensa e sistemática com determinados aspectos culturais fundamentais nesse tipo de sociedade o que faz com que esse grupo seja marcado pela exclusão, pois não possuem a competência da leitura e da escrita e de outras prática letradas necessárias para a interação com a sociedade em que vivem. Desta forma, esse grupo acaba criando características comuns entre os seus membros que são consequências cognitivas de deferentes práticas culturais. Apontaremos a seguir essas características.

A capacidade de elaboração cognitiva descontextualizada é uma das características melhor definida em indivíduos letrados, sendo um comportamento aparentemente ausente em grupos de “pouco letrados”. Na década de 30, A. R. Luria estudou grupos de camponeses soviéticos e encontrou diferenças cruciais entre os grupos dos letrados e dos “pouco letrados”. Nesses estudos foram observados que sujeitos mais escolarizados envolvidos no trabalho das fazendas coletivas mais modernas, tendiam a trabalhar com categorias abstratas independente da experiência vivida e do contexto concreto. Luria chamou este comportamento de “categorial”.

Esses sujeitos agrupavam objetos segundo cores, formas geométricas ou categorias, ou ainda, usavam a dedução e a inferência para solucionar problemas matemáticos a partir de situações hipotéticas. Já os sujeitos menos escolarizados envolvidos em atividades de agricultura tradicional, individualizada, tendiam a operar influenciados por configurações perceptuais, baseados pela experiência pessoas. Luria chamou esse tipo de comportamento de “gráfico-funcional”. Ao agrupar objetos, esses indivíduos tendiam a criar categorias que remetiam à sua relação com situações concretas. Experiências mais atuais retratam essa mesma contraposição entre indivíduos letrados e indivíduos “pouco letrados”.

Outro aspecto em que também são notadas diferenças quando se analisa alunos letrados e alunos “pouco letrados” é o controle que estes têm sobre sua própria produção cognitiva. Oliveira diz que uma experiência realizada com alunos da EJA na cidade de São Paulo mostra a grande dificuldade que estes alunos têm quando um professor propõe uma atividade na qual eles devem seguir instruções explícitas. A dificuldade está no seguir instruções.

Estes alunos realizam a tarefa passo a passo, sempre se reportando ao professor para perguntar sobre o próximo a passo a seguir. Luria estabelece que esta capacidade de seguir instruções está relacionada à capacidade da auto-instrução e que quando o indivíduo vence esta etapa ele passa a organizar o seu comportamento. O controle da produção cognitiva cria também condições para que o sujeito possa auto-monitorar o desenvolvimento de suas tarefas.

Os procedimentos metacognitivos estão relacionados à questão do controle da produção cognitiva, isto é, às operações deliberadas do sujeito sobre suas próprias ações intelectuais. Esses procedimentos fazem com que os indivíduos tenham consciência dos próprios processos de pensamento de modo a explicar esse processo a outras pessoas. Pesquisas mostram que indivíduos “pouco letrados” têm dificuldade de transitar por esses procedimentos e uma conseqüência desta dificuldade notada também por Oliveira, em sua pesquisa com os alunos de EJA, é a tendência à adoção “não-refletida” de princípios como sendo universais, ou seja, quando o professor passa uma regra para ser usada numa determinada situação, o aluno conclui erroneamente que esta regra vale para todos os casos que surgirem a seguir.

Nesse item analisaremos como a escrita e o desenvolvimento da ciência formal podem influenciar no desenvolvimento cognitivo do indivíduo. A escrita enquanto sistema simbólico é, por definição, um dos principais fundamentos do modo letrado de pensamento favorecendo o pensamento descontextualizado e independente da experiência do sujeito. Ela favorece, também, a consciência metalinguística, pois por meio dela o sujeito pode refletir e construir conhecimento explícito. A escrita fornece também ao seu usuário, instrumentos externos que facilitam a utilização de procedimentos de controle cognitivo (listas, calendários, tabelas, etc.).

O desenvolvimento da ciência formal é outro aspecto que pode ser relacionado com as transformações do modo de pensamento do sujeito, embora isso não seja possível sem o auxílio da escrita. Fazem parte do desenvolvimento científico atividades que pressupõem a construção de categorias formalizadas de organização do real e processos deliberados de generalização. A sociedade pautada pelo desenvolvimento científico e tecnológico é organizada por objetivos de predição e controle, que necessitam de planejamento em longo prazo, organização institucional e tomadas de decisões com base em critérios que ultrapassam as necessidades individuais e imediatas.

Finalizando, a escola é a instituição tem por fim colocar os sujeitos em contato com a escrita e o desenvolvimento científico, favorecendo, deste modo, o desenvolvimento cognitivo do sujeito. As práticas escolares favorecem, portanto, o desenvolvimento do pensamento descontextualizado e a ação metacognitiva. Favorecem, também, o aprendizado de formas de controle da produção cognitiva que são partes importantes das tarefas escolares. Desta forma, podemos concluir que os sujeitos excluídos de uma relação sistemática com a escrita, com a escola e com a ciência têm o seu desenvolvimento cognitivo comprometido.

No mundo atual, globalizado e movido a tecnologia, a matemática é cada vez mais necessária. Os cálculos de estatísticas e probabilidades são essenciais para se tomar decisões políticas, sociais ou econômicas. Desta forma, seria de se esperar que a população, em geral, incrementasse seus estudos nessa área. Mas, não é o que se vê nas escolas de Educação Básica. Hoje, 40 a 50% dos alunos não alcançam o mínimo do conhecimento matemático necessário para finalizar a escolaridade obrigatória. Na verdade, a maioria das pessoas não alcança o nível de “alfabetização funcional” mínimo para desenvolver-se numa sociedade moderna.

Chegamos, desta maneira, a um paradoxo: a matemática, um dos conhecimentos mais necessários para se sobreviver nas sociedades modernas altamente tomadas pela tecnologia, é um empecilho ao acesso da grande maioria da população ao sistema educacional. Em 1982, Cockcroft afirmou em uma pesquisa na Inglaterra e no País de Gales que a Matemática é uma “matéria” difícil de ensinar e de aprender. A Matemática aparece como algo denso e enigmático até mesmo para pessoas cultas e instruídas.

Uma explicação para estes fatos estaria baseada na natureza do conhecimento matemático que é diferente, em muitos aspectos dos outros tipos de conhecimento devido ao seu alto grau de abstração, pois na verdade se define por dedução e não por abstração como outros conhecimentos. Por outro lado, o conhecimento matemático depende de uma linguagem específica, de caráter formal que traduz a linguagem natural para uma linguagem universal formalizada, permitindo assim o enorme rigor necessário para se entender o estrito significado dos seus termos. A formalização da linguagem matemática tem uma função primordial: converter os conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis, possibilitando assim determinadas inferências que de outro modo seriam impossíveis.

Levando em consideração os fatos acima citados, podemos formular algumas perguntas: Seria a matemática apenas uma linguagem? A maioria das pessoas carece mesmo da capacidade de abstração necessária para dominar linguagens formais? Ou o processo de ensino adotado é inadequado? A primeira pergunta formulada gera uma polêmica entre os que consideram a Matemática como sendo apenas uma linguagem e os que pensam que sempre é possível atribuir um significado aos símbolos que se manipula.

Quando um aluno aprende matemática, geralmente aprende decorando regras que devem ser aplicadas sempre, mas este mecanismo muitas vezes leva a erros gravíssimos além de que, na maior parte das vezes, faz com que os alunos apliquem regras sem entender o seu real significado, sem saber por que deve fazer desta e não de outra maneira a operação Matemática. É comum o aluno aplicar erroneamente regras que não servem naquela situação específica porque decorou a regra sem entender o porquê desta regra ser aplicada e muitas vezes ainda escuta do professor se não está vendo que naquela situação não há lógica em se aplicar a determinada regra.

Quando um professor ensina dessa maneira não está percebendo que em toda sentença matemática é necessário reconhecer um significado formal intrínseco, no qual uns símbolos fazem referência a outros dentro de um código específico, e um significado pragmático, que permite a tradução para sistemas de signos não matemáticos, e associar tais expressões ao seu significado referencial. Como alternativa à situação citada acima existem algumas tendências metodológicas para o ensino da Matemática tais como o construtivismo ou ainda o aprendizado através da resolução de problemas.

Ambas podem ser tratadas de maneira conjunta por se tratarem de teorias que priorizam o estudo dos aspectos conceituais da matemática. O importante é que os alunos entendam ou construam o significado dos conceitos matemáticos. Os alunos, desde a mais tenra idade, manifestam procedimentos próprios, não formais, que lhes permite ir construindo progressivamente os significados matemáticos. Assim sendo, cabe ao professor usar desta habilidade para ajudar ao aluno a construir os conceitos matemáticos de forma mais intuitiva e menos formal.

Uma dúvida é se o fato do aluno entender o significado dos conceitos e procedimentos matemáticos faz com que tenha facilidade para dominar a linguagem formal. Assim sendo, sugere-se que o ensino matemático não seja excessivamente verbal, mas que a construção do conhecimento se baseie na manipulação e na ação. Após a construção do significado, o passo seguinte seria o uso da linguagem simbólica em situações de representação onde o aluno deve transmitir os conceitos aprendidos a outras pessoas. Dependendo do nível de desenvolvimento, o aluno vai recorrer a representações próprias desses conceitos.

É possível observar com freqüência que existe uma grande resistência do pensamento humano em abandonar o conteúdo do objeto expressado pela linguagem natural e pelo desenho, para substituí-lo pelo símbolo formal. Por outro lado, os alunos costumam aprender a manipular símbolos segundo uma série de regras que não entendem. Isso faz com que, para eles, seja muito difícil associar tais símbolos ao seu significado referencial e, portanto usá-lo para resolver problemas de forma significativa. O conhecimento conceitual não implica absolutamente em conhecimento de regras sintáticas e das convenções de notação próprias do simbolismo matemático.

Como os alunos podem resolver muitas operações e problemas usando processos intuitivos, corremos o risco de cometer dois grandes erros: acreditar que não é necessário se ensinar os procedimentos formais ou ainda que se pode passar do procedimento intuitivo para o formal de forma automática, situação que muitas vezes leva a um “salto mortal” entre o conceitual e o simbólico. Resta-nos, então, saber como fazer para que o aluno passe dos procedimentos não-formais e intuitivos para as expressões simbólicas próprias da linguagem formal e vice-versa.

Levando em consideração que a Matemática também é uma linguagem, o domínio dela implica também um conhecimento de aspectos sintáticos e semânticos inerentes a esta linguagem. Mas, deveremos levar em consideração também que esta linguagem constitui uma forma de discurso específico que, embora guarde estreita relação com a atividade conceitual, mantém a sua própria especificidade como um discurso linguístico. Desta forma, não se pode esquecer que aprender uma linguagem não é aprender uma série de regras e sim adquirir um grau de competência comunicativa 9 que permita usar tal linguagem adequadamente.

Levando em consideração os aspectos citados acima podemos considerar que:

• Os conceitos e procedimentos matemáticos devem ser ensinados de forma contextualizada: devemos acabar com a ideia de que a matemática é algo excessivamente abstrato, difícil e inacessível. Embora existam patologias que podem dificultar o seu aprendizado, a maioria das pessoas pode aprendê-la sem nenhuma dificuldade. A maior parte das pessoas que alegam dificuldade para aprender matemática usa-na como ferramenta nas suas atividades cotidianas pois dela necessitam. Portanto, se queremos ensinar Matemática de uma forma significativa devemos primeiro conhecer quais são os usos e as funções que o conhecimento matemático cumpre em nossa sociedade e situar a aprendizagem dos conceitos e procedimentos matemáticos no contexto de tais usos e funções.

• A resolução de problemas pode ser um instrumento de contextualização: este tipo de atividade não pode acontecer apenas para aplicar os conhecimentos previamente adquiridos, mas também, para propor situações que requeiram uma solução matemática e que permitam o levantamento de questões, a pesquisa, a discussão, a exploração e a especulação, além da contextualização das operações.

• Os procedimentos próprios, intuitivos ou não-formais são instrumentos para explorar o significado dos conceitos e procedimentos matemáticos: devemos estimular o uso de desenhos, figuras, jogos e outros processos intuitivos para que o aluno tome contato inicial com os conceitos matemáticos antes de formalizá-los.

• É necessário associar os símbolos matemáticos ao seu significado referencial: dificilmente encontraremos alguma regra algum princípio, que não tenha significado referencial.
• plicar modelos concretos: decorrente do aspecto anterior. Para que os alunos associem os símbolos matemáticos ao seu significado referencial não basta incentivar o uso de estratégias pessoais dos alunos, é necessário que o professor proponha modelos que permitam entender a semântica da operação ou transformação. Esses modelos podem ser: manipulativos, verbais, gráficos ou até de caráter simbólico.

• Utilizar e relacionar linguagens diferenciadas: para associar aspectos sintáticos e semânticos é necessário que os alunos usem diferentes linguagens para expressar as transformações matemáticas, que as relacionem entre si e que tenham consciência das regras que fazem a passagem de uma linguagem à outra.
• Trabalhar os mesmos conceitos e procedimentos em diferentes contextos: a construção dos conceitos e procedimentos matemáticos exige que sejam aplicados e atualizados por intermédio de problemas que respondam a estruturas semânticas diferentes.
• Estimular a abstração progressivamente: para isso é necessário não só variar os contextos e as situações, mas também propiciar um processo de reflexão consciente e a explicitação das relações entre as quantidades.

Para concluir, podemos comparar a aprendizagem da matemática com a aprendizagem de um idioma estrangeiro, pois quanto mais se domina este idioma, menos “estrangeiro” ele se parece. Ou ainda, que a Matemática constitui uma maneira determinada e específica de interpretar, de observar a realidade. Que usa uma linguagem específica, diferente das linguagens naturais e cuja aquisição não pressupõe a mera “tradução” para a linguagem natural. E que, portanto, aprender matemática significa aprender a observar a realidade matematicamente, entrar na lógica do pensamento e da linguagem matemática, usando as formas e os significados que lhe são próprios.

Esse seria o verdadeiro sentido da alfabetização matemática que nos permitiria circular pelos “domínios da matemática” como se estivéssemos em nossa própria casa e não num “país estrangeiro”. O objetivo e a finalidade da matemática devem ser que os alunos dominem e usem significativamente sua linguagem e os usos específicos da mesma. Mas, para que isso seja alcançado, as formas de ensino e de aproximação tradicionalmente aplicadas a essa linguagem devem ser radicalmente modificadas.

Segundo Chizzotti, o estudo de caso é uma estratégia de pesquisa muito usada na área educacional em que o pesquisador reúne informações sobre determinado fato ou fenômeno contemporâneo social complexo inserido em seu contexto específico. Tem por objetivo reunir aspectos relevantes sobre o objeto de estudo e desta forma alcançar uma compreensão mais ampla desse objeto dissipando dúvida, esclarecendo questões pertinentes e sugerindo ações posteriores.

Este estudo de caso envolve a coleta sistemática de informações de um processo social, no caso as aulas de geometria para os alunos da modalidade EJA, para conhecer melhor as relações existentes entre os sujeitos envolvidos no processo, no caso professora e alunos, analisar os resultados do processo e sugerir novas possibilidades de ensino dessa disciplina nessa modalidade de ensino. Quanto à etnografia, segundo Fiorentini & Lorenzato, um estudo de caso é etnográfico quando:

1. Está-se interessado numa instância em particular, isto é, numa determinada instituição, numa pessoa ou num específico programa de currículo;
2. Deseja-se conhecer profundamente essa instância particular em sua complexidade e em sua totalidade;
3. Se estiver mais interessado naquilo que está ocorrendo e no como está ocorrendo do que nos seus resultados, ou ainda
4. Quer-se retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima de seu acontecer natural.