Funções e o movimento da matemática moderna

A história das disciplinas escolares vem ganhando uma crescente atenção nas discussões daqueles que teorizam ou tomam decisões sobre o conhecimento escolar, a partir da problematização da seleção e organização desse conhecimento, que já não é visto, apenas, como proveniente de saberes construídos fora da escola, mas compreendido, também, como uma construção dessa instituição, que permeada por normas e práticas, foi constituindo o que hoje é conhecido como cultura escolar.

Essas normas e práticas se constituem a partir das finalidades explícitas e implícitas que emanam da sociedade em determinado período histórico, dos conteúdos escolares que essas finalidades requerem para provocar a aculturação desejada, das orientações estruturais dos organismos que colocam em execução as políticas educacionais, das práticas de ensino efetivamente realizadas no cotidiano da escola, bem como das apropriações que os alunos realizam do que lhes é apresentado. Na perspectiva de Julia, a partir de todos esses elementos, talvez seja possível melhor compreender o funcionamento de uma disciplina escolar e desviar-se do risco de interpretações históricas equivocadas.

Para esse autor, “a história das disciplinas escolares deve, para ser realmente operatória, partir mais dos fenômenos e dos mecanismos internos à escola do que da aplicação de explicações externas, e pouco convincentes, sobre essas mesmas escolas”. Nessa perspectiva pode ser entendido, então, que a essência daquilo que tem sido identificado atualmente como disciplina escolar, designando as diferentes matérias de ensino, está lá na escola, à espera dos historiadores, para mostrar a sua verdadeira natureza e significado. Os estudos realizados por Chervel, sugerem que:

Desde que se reconheça que uma disciplina escolar comporta não somente as práticas docentes da aula, mas também as grandes finalidades que presidiram sua constituição e o fenômeno de aculturação de massas que ela determina, então a história das disciplinas escolares pode desempenhar um papel importante não somente na história da educação mas na história cultural (...) Porque são criações espontâneas e originais do sistema escolar é que as disciplinas merecem um interesse todo particular. E porque o sistema escolar é detentor de um poder criativo insuficientemente valorizado até aqui é que ele desempenha na sociedade um papel o qual não se percebeu que era duplo: de fato ele forma não somente os indivíduos, mas também uma cultura que vem por sua vez penetrar, moldar, modificar a cultura da sociedade global.

Visto dessa forma, é possível entender que a escola intervém não apenas na formação individual, mas, que através de seus múltiplos dispositivos pedagógicos para tornar possível o ensino, interfere na formação cultural da sociedade. Há que se reconhecer, também, que as disciplinas escolares representam um marcante papel no traçado histórico dos limites entre as modalidades e níveis de ensino, onde os conteúdos de instrução ocupam lugar de destaque.

Para Chervel, a história dos conteúdos é o componente central da história das disciplinas escolares, constituindo o “pivô” ao redor do qual ela se constitui; afinal, é através dos conteúdos escolares que as disciplinas colocam os ensinos em relação com as finalidades às quais eles estão designados e com os resultados concretos que eles produzem. Dessa forma, justifica-se o dizer desse autor: ”a tarefa primeira do historiador das disciplinas escolares é estudar os conteúdos explícitos do ensino disciplinar”.

Julia parece concordar com a relevância apontada por Chervel, pois entende que “uma disciplina se define tanto por suas finalidades quanto por seus conteúdos”, e lembra que “as finalidades remodelam os conteúdos de ensino e os exercícios a eles associados”, o que é compreensível quando se considera que esses estão a serviço das finalidades educacionais que evoluem de acordo com as demandas dos diferentes períodos históricos e que podem ser de diferentes ordens, como religiosas, sócio-políticas, psicológicas, culturais, etc.

Evidenciando a importância que atribui aos conteúdos, Julia, inclui entre as perspectivas interessantes para se entender a cultura escolar como objeto histórico, o que ele designa por “interessar-se pela análise dos conteúdos ensinados e das práticas escolares”, indicando que “convém examinar atentamente a evolução das disciplinas escolares, levando em conta diversos elementos que, em ordem de importância variada, compõem essa estranha alquimia: os conteúdos ensinados, os exercícios, as práticas de motivação (...)”.

Em estudos posteriores, esse autor, reforça tal ideia, mas adverte: “Sem dúvida é necessário estudar os conteúdos ensinados, mas é conveniente fazê-lo em relação estreita com os métodos e as práticas, se se quer compreender o que se passa realmente em sala de aula”. Nessa direção, concordamos com Chervel, quando diz que a exposição feita pelo professor ou pelo manual didático de um conteúdo de conhecimentos assume relevância dentre os diversos componentes de uma disciplina escolar.

Os manuais didáticos, considerados como elemento inalienável do processo de escolarização e importante instrumento de comunicação, de produção e transmissão de conhecimentos, vêm sendo usados pelos pesquisadores para análises ligadas aos processos constitutivos da história das disciplinas escolares. Ilustrando a perspectiva apresentada, vale lembrar o posicionamento de Valente, com base nos estudos que realizou sobre a história da matemática escolar no Brasil, considerando a ligação direta entre compêndios didáticos e desenvolvimento do ensino de matemática no país, explicando que “a dependência de um curso de matemática aos livros didáticos, portanto, ocorreu desde as primeiras aulas que deram origem à matemática hoje ensinada na escola básica”.

Além de estabelecer restrições e criticar certos usos feitos pelos investigadores, esse autor tece considerações teórico-metodológicas sobre a utilização dessa materialidade da cultura escolar como fonte de pesquisa, reconhecendo que “talvez seja possível dizer que a matemática se constitua na disciplina que mais tem a sua trajetória histórica atrelada aos livros didáticos”.

Embora alertados por Julia, de que a análise de um manual didático sem o uso que dele foi feito não agrega valores aos estudos históricos, justifica-se sua utilização nessa investigação, pois se entende como Certeau, que “cada resultado individual se inscreve numa rede cujos elementos dependem estritamente uns dos outros, e cuja combinação dinâmica forma a história num momento dado”; por outro lado, o objetivo deste estudo, é analisar a seqüência de discursos de um mesmo autor, a respeito da inclusão ou não do conteúdo funções no nível de escolarização correspondente ao Ciclo Ginasial do Ensino Secundário, atual Ensino Fundamental, e a possível relação entre o Movimento da Matemática Moderna e mudanças referentes à presença desse conteúdo em livros didáticos. Segundo o historiador Michel de Certeau, “ainda que isso seja uma redundância é necessário lembrar que uma leitura do passado, por mais controlada que seja pela análise dos documentos, é sempre dirigida por uma leitura do presente”.

Assim, com vistas à história da matemática escolar no Brasil, sobre a qual ainda muitas lacunas existem , acredita-se que sejam muitos os desafios a serem enfrentados por aqueles que se colocam no papel de historiadores da Educação Matemática, visto a abrangência dessa empreitada que requer conhecimentos do fazer pedagógico, do fazer matemático e do fazer histórico.

Ao explicar a operação historiográfica, Pinto, apoiada em Certeau, identifica e esclarece três fases dessa operação científica: a documental, voltada para a busca de indícios, a explicativa/compreensiva que busca explicar os significados e a compreensão do sentido, e a escrituraria, voltada para o processo de elaboração do relato. A partir de tais contribuições metodológicas para o fazer historiográfico e outras que a autora fornece através de análise da trajetória do MMM no Paraná, desenvolvemos o presente estudo que traz análises preliminares sobre as rupturas e mudanças percebidas em livros didáticos de um mesmo autor, que dizem respeito ao conteúdo funções, entre a década de 50 e 70 do século passado.

Compreendemos que a opção por analisar livros de um mesmo autor oferece a vantagem de possibilitar mais claramente, através da variação do seu discurso, a percepção da evolução pela qual passou o conteúdo programático Funções, no período delimitado. Considerando, com Julia, que “os prefácios das obras ou as polêmicas relativas aos métodos pedagógicos podem também fornecer informações preciosas sobre as práticas das salas de aula”, usamos para análise, nesse trabalho que ora apresentamos, materialidades do pensamento de um autor expressas nos prefácios de quatro de suas obras, respectivamente datados em 1954, 1960, 1968 e 1974.

Os estudos sobre os modos de ver e conceber o ensino da Matemática, realizados por Fiorentini, indicam que até o final da década de 50 do século XX, o ensino da Matemática no Brasil, apresentava características de uma tendência pedagógica por ele denominada “clássica tradicional”, pautada em uma concepção platônica, de visão conclusa, a-histórica e dogmática do conhecimento matemático, tendo como principal finalidade a elevação espiritual, a disciplina mental e o pensamento lógico-dedutivo.

No entanto, a partir da década de vinte do século passado, emergindo no seio do movimento escola-novista, surge a concepção empírico-ativista do processo ensino aprendizagem, que constituía uma negação ou oposição à escola clássica tradicional, atribuindo como finalidade da educação o desenvolvimento da criatividade e das potencialidades individuais. No âmbito do ensino da Matemática, um dos principais representantes dessa corrente de pensamento foi Euclides Roxo, a quem de certa forma devemos a unificação da Aritmética, da Álgebra, e Geometria na disciplina Matemática, e a sua inclusão em todas as séries do ensino secundário, nos finais da década de 20 e década de 30, durante a Reforma Francisco Campos.

Esse matemático brasileiro defendia as idéias do eminente matemático alemão Félix Klein, que ainda no começo do século XX, segundo Schubring, já propunha uma reforma em que toda a instrução matemática fosse orientada para o pensamento funcional.

A noção de função deve na opinião de Klein ser adotada como ideia axial no ensino da Matemática, capaz de estabelecer o elo unificador dos vários assuntos tratados na escola secundária, de modo a ser a alma do corpo em que se organiza a matéria. Além da aptidão para ligar todos os assuntos em um todo, a educação do pensamento funcional merece ser feita na escola secundária, não só tendo em vista as exigências práticas e culturais da vida moderna, mas pela sua aptidão para constituir um meio altamente educativo para o pensamento lógico e por ser um verdadeiro método de estudo (ROXO).

Com este volume terminamos a coleção de livros de Matemática, 1º- Ciclo, oferecido aos ilustres colegas e aos estudantes de nosso curso secundário. Seguimos tanto quanto possível, as instruções metodológicas constantes na Portaria 1045, de 14/12/51. Achamos conveniente, no início da arte algébrica, dar o conceito de número real, a fim de melhor estudar as equações do segundo grau (...) Deixamos, de acordo com as citadas instruções, de introduzir o sistema de referência cartesiano, cujo estudo deve ser feito de um modo mais completo no segundo ciclo. (...) (SANGIORGI)

Não há indicações do autor, nessa mensagem, sobre o estudo de funções nesse nível de ensino, havendo, no entanto, uma indicação clara do abandono da intenção de introduzir o sistema de referência cartesiano (também utilizado para construção das representações gráficas das funções), em obediência à Portaria de 1951, que recomenda esse estudo no 2º. Ciclo, correspondente ao atual Ensino Médio. Numa primeira análise, é possível afirmar que o conteúdo funções não figura no índice que contém os conteúdos abordados nesse livro, apresentando apenas duas rápidas referências a esse assunto no interior da obra, nas páginas 50 e 61, durante o tratamento didático do Trinômio do 2º. Grau. Esse mesmo volume traz uma “observação à 20ª. edição”, datada de janeiro de 1960, cujo teor é o seguinte:

A atual edição, revista e ampliada, tem a seu favor o aproveitamento de sugestões apresentadas por distintos colegas. Assim é que no APÊNDICE, constante da parte final, acrescentamos o estudo de Sistemas simples do segundo grau, bem como introduzimos as Representações gráficas de funções, usando o Sistema Cartesiano (na reta e no plano). A necessidade que o aluno de 2º. Ciclo, logo ao iniciá-lo, tem dos conhecimentos da Geometria Analítica, levou-nos à presente ampliação (...) (SANGIORGI)

Percebe-se pelas palavras do autor, que a inclusão de representações gráficas de funções, embora não fizesse parte do programa oficial para essa série e nível de escolaridade, passou a fazer parte de seus didáticos, como apêndice, pelo favorecimento que esse conhecimento traria ao tratamento pedagógico de outros conceitos e conteúdos da Matemática a serem tratados no segundo ciclo, nível de ensino correspondente ao atual Ensino Médio. Nesse apêndice, no entanto, o autor faz uso restrito do termo função, generalizando que “toda correspondência entre valores de duas variáveis x e y define uma função”, atendo-se às representações gráficas do que ora chama de função, ora de equação do 1º grau; ora função, ora trinômio do 2º. Grau.

Essa diferença entre o currículo prescrito e o currículo vivido nos remete à Chervel, quando diz: Mas as finalidades de ensino não estão todas forçosamente inscritas nos textos. Assim, novos ensinos às vezes se introduzem nas classes sem serem explicitamente formulados. Além disso, pode-se perguntar se todas as finalidades inscritas nos textos são de fato finalidades ‘reais’.

Não podemos, portanto, ceder à superficialidade, considerando apenas os registros oficiais para entender as finalidades do ensino. Como nos lembra esse autor, o estudo das finalidades não pode, pois, de forma alguma, abstrair os ensinos reais, pois a educação dada e recebida nos estabelecimentos escolares é “um conjunto complexo que não se reduz aos ensinamentos explícitos e programados”.

Esses textos correspondentes ao Prefácio e observação à 20ª edição, nos remetem às “estratégias” e “táticas”, noções utilizadas por Certeau para falar do modo como se apresentam as relações de força, poder; nesse caso o poder político público utilizava a estratégia de Portarias para normatizar ou regular os conteúdos programáticos escolares, designados, segundo Sangiorgi, por instruções metodológicas; e por sua vez, supondo que a Portaria referida ainda estivesse em vigência, a ação tática desse autor que burla a portaria e publicamente se justifica pelo “aproveitamento de sugestões apresentadas pelos nobres colegas” e “pela necessidade que o aluno de 2º ciclo tem desses conhecimentos”.

O volume referente ao 4º. Ano ginasial da próxima coleção de didáticos do autor Sangiorgi, com o título Matemática Curso Moderno traz no prefácio da primeira edição, em 1967, um discurso totalmente renovado, permeado por muitas promessas sob a égide da Matemática Moderna. Sob o título “Uma palavra para você, que vai terminar o Ginásio...” o autor faz sua comunicação:

Meu caro estudante: Ao final deste volume, você ficará de posse dos assuntos de Matemática relativos aos quatro anos de estudo do Ginásio. E não se esqueça: você estará incluído no primeiro grupo de jovens brasileiros que completa o seu curso ginasial conhecendo as belas estruturas da Matemática Moderna, a exemplo do que já vem ocorrendo nos grandes países civilizados de nossa época. Neste livro o conceito moderno de função é o dominante, participando ativamente da Álgebra e da Geometria (...) Está, pois, encerrada a coleção de livros didáticos para o Ginásio, destinada à sua formação matemática e humanística, de acordo com os anseios renovadores dos atuais homens de Ciência.

A menção ao conceito moderno de função, como dominante nesse livro, é então uma grande mudança, dentre outras que o autor anuncia para o 4º. Ano do ensino Ginasial, trazido pela Matemática Moderna, sendo apresentada entusiasticamente por Sangiorgi, reconhecidamente o líder, no Brasil, da internacional renovação curricular que ficou conhecida por Movimento da Matemática Moderna (MMM). No Programa para um Curso Moderno de Matemática, apresentado nesse manual didático para a 4ª. Série dos Cursos Ginasiais, o autor esclarece que:

De acordo com os Assuntos Mínimos para um moderno Programa de Matemática para os Ginásios, aprovada pela Diretoria do Ensino Secundário, do Ministério da Educação e Cultura, no Curso de Treinamento Básico para Professores Secundários, realizado em Brasília, de 25 a 30 de novembro de 1963, e Sugestões para um roteiro de programa para a cadeira de Matemática, Curso Secundário – 1º. Ciclo – quarto ano ginasial, da Secretaria de Educação de São Paulo, publicado no Diário Oficial. De 19/1/1965 (SANGIORGI)

No Programa apresentado, dentre os seis capítulos ou unidades de estudo propostas pelo autor, o terceiro com 70 páginas, intitulado Funções, aborda domínio e conjunto-imagem; função linear e sua representação gráfica cartesiana – resolução gráfica de sistema de equações; função trinômio do 2º. Grau e sua representação gráfica cartesiana; inequações do 2º. Grau. Nesta unidade, o autor, de modo diverso em relação à breve abordagem feita em 1960, quando enuncia que “toda correspondência entre valores de duas variáveis x e y define uma função”, afirma que: “Função é uma relação especial entre dois conjuntos A e B que associa a cada elemento do conjunto A um único elemento do conjunto B”. Percebe-se assim, que o novo enfoque dado a funções, tem por base a Teoria dos Conjuntos, que era defendida pelos idealizadores do MMM, como elemento de unificação e integração das partes da Matemática. Segundo Fiorentini, “muitos professores universitários, influenciados pelo Grupo Bourbaki também difundiram esse ideário e, sobretudo a concepção estrutural-formalista da Matemática, nos cursos de licenciatura”, o que pode, no âmbito desse trabalho, levar a suposição de que a formação docente nesse período

histórico, também, tenha concorrido para favorecer uma acolhida ao tratamento didático-metodológico dado ao conteúdo funções pelo autor Osvaldo Sangiorgi. Tal como desejara Klein, de acordo com Schubring, e Roxo, em relação ao pensamento funcional permeando e unificando todo o estudo da Matemática, na primeira metade do século XX, a Teoria dos Conjuntos, assumiu esse papel de elo unificador na perspectiva das idéias modernizadoras veiculadas pelo Movimento da Matemática Moderna.

Em 1974, quando o MMM mostrava os primeiros sinais de arrefecimento, talvez, em parte, pelas duras críticas apresentadas pelo professor americano Morris Kline, no livro que, traduzido no Brasil em 1976, recebeu o título O fracasso da Matemática Moderna, Sangiorgi lança uma nova coleção de didáticos, já de acordo com a nova Lei 5692/71, de Diretrizes e Bases para o Ensino de 1º. e 2º. graus, intitulada Matemática para Cursos de Primeiro Grau, na qual se percebe a retirada do termo “moderno” do título e a não apresentação de prefácio ou equivalente.

No volume identificado como Matemática 8, destinado ä 8ª. Série, correspondente à 4ª. série ginasial na legislação anterior, o autor apresenta o conteúdo funções, de modo semelhante à coleção anterior, de 1967, mantendo, inclusive, os mesmos tópicos do capítulo, os mesmos exemplos, mas, apresentando os exercícios de fixação em um caderno de exercícios e estudo dirigido que acompanhava gratuitamente o volume referido. Em 1978, uma nova série de didáticos de Sangiorgi, com os títulos Matemática 5, Matemática 6, Matemática 7 e Matemática 8, sendo que nesse último volume, reproduz o tratamento teórico-metodológico dado às Funções, utilizando os mesmos exemplos, explicações e ilustrações das séries anteriores (1967 e 1974), porém suprimindo os tópicos referentes à Função trinômio do 2º. grau e Inequações do 2º. graus.

Há também, nessa mesma série, no volume 8, um pronunciamento do autor para os alunos, em que se refere ao conteúdo foco dessa análise: “O livro-caderno desta série contém assuntos que completam a sua formação de Matemática do 1º. Grau. O conceito de função é o dominante (...)” O que se busca extrair dessa rápida análise das fontes ora apresentadas, são indícios de mudanças nos livros didáticos de matemática referentes ao conteúdo funções, que expliquem a introdução desse assunto, oficialmente nos currículos do nível de ensino correspondente ao atual Ensino Fundamental, ou melhor, que auxiliem no esclarecimento da sua trajetória como conteúdo de ensino, tão significativo, como tem se mostrado nos dias atuais.

O período escolhido para análise, tem por base o estudo de Chervel, que acena com a possibilidade de profícuas pesquisas, nos períodos de rupturas, de mudanças, pois segundo o autor, são “períodos privilegiados para o historiador, que dispõe então de uma dupla documentação, totalmente explícita”. Explica o autor, que de um lado, os novos objetivos tornam-se objeto de “declarações claras e circunstanciadas”; de outro lado, “cada docente é forçado a se lançar por sua própria conta em caminhos ainda não trilhados, ou a experimentar as soluções que lhe são aconselhadas”. Provavelmente, os manuais de Sangiorgi podem ter sido considerados como uma dessas soluções que são aconselhadas, a que Chervel se refere.

O estudo de Funções, considerado atualmente conteúdo estruturante da 8ª. Série do Ensino Fundamental, não recebeu ao longo do século XX, o mesmo espaço nos programas ou projetos pedagógicos, de acordo com as indicações observáveis nos livros didáticos tomados para análise no presente trabalho. As fontes apresentadas fornecem indícios de que na década de 50, esse conteúdo era indicado oficialmente para ser tratado no 2º.

Ciclo do Ensino Secundário, nível que corresponde ao atual Ensino Médio, mas, que no início da década de 60, compêndios escolares, de autor já consagrado no meio editorial, passaram a apresentar um apêndice no livro destinado a última série do 1º. Ciclo do Ensino Secundário, popularmente denominado Ginásio, contendo Gráficos de funções, segundo o autor, pela contribuição que este estudo, ainda no 1º Ciclo, traria para os estudantes no início do ciclo seguinte.

No entanto, segundo as análises preliminares dos manuais apresentados, é possível supor, que o conteúdo aqui em estudo, ganhou destaque e passou a fazer parte regular e oficialmente, dos didáticos para o nível de estudos correspondente ao atual Ensino Fundamental, a partir do movimento de renovação curricular, provavelmente o maior do século XX, conhecido como Movimento da Matemática Moderna.

Embora diferenciado em relação às intenções originais de Klein e Roxo, a partir da segunda metade da década 1950, com o engajamento de muitos matemáticos e professores brasileiros ao movimento internacional de modernização da disciplina Matemática, o estudo de funções também foi visto como elemento unificador da Matemática; desta vez, com um outro tratamento, tendo por base a Teoria dos Conjuntos.

Nas fontes apresentadas podem ser reconhecidos indícios de que, a partir do MMM, a abordagem do conteúdo foco desse estudo, passou a ocupar um número considerável de páginas nos didáticos editados no Brasil, no final da década de 60 e toda a década de 70, e pode ter ganho popularidade, também, nas salas de aula, se considerarmos que essa materialidade da cultura escolar possui uma trajetória histórica de ligação indiscutível com as práticas de educação matemática.

Ao contrário do que parecem pensar alguns analistas dos movimentos de renovação curricular e das reformas escolares, que no geral, “as reformas se sucedem, uma atrás da outra, sem alterar o que de fato ocorre nas instituições educativas, sobretudo, nas salas de aulas”, é possível supor que o MMM não representou a exemplo de outras reformas, apenas uma “cortina de fumaça” para distrair os atores implicados no sistema educativo e ocultar a ausência de uma política efetiva de melhoria na educação.

Entende-se que, como qualquer outro, este movimento também estava atrelado ao contexto daquele período histórico, que sofreu mudanças e com elas a descontinuidade das finalidades educativas. No entanto, a inclusão do estudo de Funções passou a ser, a partir do MMM, conteúdo de instrução constante nos livros didáticos da época analisada e, atualmente, conteúdo de análise para a aprovação de um manual pelo Programa Nacional do Livro Didático da Secretaria de Educação Básica do Ministério da Educação.

Não está sob análise, no presente estudo, a viabilidade das propostas veiculadas pelo MMM e as mudanças no tratamento didático-mtodológico que as práticas pedagógicas em sala de aula foram agregando ao conceito de função, mas sim, a contribuição desse marco histórico da Educação Matemática para a institucionalização desse conhecimento, como saber escolar ofertado ainda no Ensino Fundamental.

O trabalho ora apresentado é apenas o início de uma pesquisa que visa desvelar a trajetória histórica desse conteúdo curricular tão significativo do fazer matemático, que durante a primeira metade do século XX, ficava relegado às páginas finais dos manuais didáticos da última série do ensino secundário, e que em conformidade com os indícios apresentados no presente trabalho, conquistou a partir do Movimento da Matemática Moderna, atenção privilegiada nos manuais escolares destinados a níveis mais elementares de escolarização e atualmente é voltado para a leitura, interpretação e solução de problemas do entorno socioeconômico e cultural.