Matemática e Música

O ensino da matemática tem considerado conceitos advindos das produções teóricas do seu campo de saber, distanciando-se da possibilidade de analisar questões e dilemas do próprio processo de ensino. Autores da área da Educação Matemática como D’Ambrósio, 1986, 1996; Skovsmose, 2004; Silva, 2003; Lins, 2004, têm criticado o modelo de ensino tradicional da matemática utilizado freqüentemente nas escolas de educação básica. Há uma dificuldade de relacionar o que é ensinado ao uso prático e com isso percebe-se o desinteresse e a falta de estímulo dos alunos na escola em compreender e significar o que é ensinado. Com minha experiência, para uma boa quantidade de alunos, a matemática parecia uma coisa estranha, algo de que desejamos ficar o mais longe possível. Notava que muitos alunos gostavam mais de mim como professor do que propriamente do conteúdo das aulas. Uma boa referência de um trabalho mostrando esse assunto é o da inglesa Célia Hoyles (Institute of Education, University of London). Em sua investigação, pesquisou a correlação entre gostar ou não de uma “matéria” e gostar ou não do (a) professor (a):

O resultado a que ela chegou era o de que com relação à matemática, muito mais do que em qualquer outra disciplina, havia uma forte correlação positiva entre gostar do professor e gostar da matéria, isto é, na grande maioria dos casos alunos se colocavam em “gostar do professor e gostar da matéria” ou em “não gostar do professor e não gostar da matéria”. Nos outros casos, cruzados, muito poucos. Esse distanciamento ou repúdio que alguns alunos sentem pela matemática atrapalha o entendimento, a compreensão dos conceitos e contribui para a perda da motivação. Quanto mais longe do cotidiano e da prática na abordagem de alguns assuntos da matemática, mais difícil se torna o entendimento dos alunos. 

Observamos também que há uma grande afetividade nas situações didático-pedagógicas envolvendo atividades musicais. A música cria um ambiente livre de tensões, facilita a sociabilização, cria um ambiente escolar mais abrangente e favorece o desenvolvimento afetivo. Na música, vários motivos são simultaneamente acionados: a audição, o canto, a dança, o ritmo corporal e instrumental da criação melódica – contribuindo para o desenvolvimento da pessoa e servindo para transformar o ato de aprender em uma atitude prazerosa no cotidiano do professor e do aluno. Há interação com o outro e consigo mesmo, capacidade de criar e experimentar, dinamizar a aprendizagem de conteúdos formais do currículo da escola e trazer alegria ao ambiente escolar, estimulando a comunicação, a concentração, a capacidade de trabalhar e de se relacionar melhor em grupo.

Nesse cenário, queremos valorizar conceitos formais e científicos que estão presentes em algumas partes da música4 e que inclusive tornaram-na uma ciência. E não somente atrelarmos a música ao aspecto subjetivo e, às vezes, até como algo sobrenatural. “A música é uma das áreas em que é muito comum evocar a noção de dom”. O dom e/ou a aptidão são importantíssimos para o desenvolvimento e o aprendizado da linguagem musical, mas não devemos esquecer, por exemplo, de conceitos matemáticos, imprescindíveis para o entendimento pleno de alguns conceitos musicais. Como hipótese, propomos que é a partir da co-relação entre música e matemática, pode-se criar uma vontade maior de relacionar as duas áreas, servindo, tanto para dar a matemática um sentido mais prático, mais prazeroso e mais lúdico, quanto para explicar ou entender conceitos musicais que só são plenamente definidos quando usamos a matemática. Não queremos dizer com isso que a música tenha somente o papel lúdico, de entretenimento e de alegrar o ambiente. Ou mesmo que a matemática somente precise ser ligada a aspectos lúdicos e/ou práticos para ser aceita. Queremos aqui propor ações para o ensino e aprendizagem tanto da música como da matemática e uma área se fundamente na outra, desenvolvendo competências cognitivas múltiplas. A intenção é contribuir no entendimento de vários conceitos, como exemplo: razões e proporções, radiciação, potenciação, progressão geométrica, ciclo das quintas, intervalos musicais, escalas musicais, timbre, consonância, dissonância e teoria musical.Pretendemos utilizar estratégias educacionais que considerem as múltiplas inteligências, partindo dos conhecimentos mais próximos da região carregada de afetividade e que esses conhecimentos formem distintos caminhos para um mesmo conteúdo, sendo cada um com sua determinada competência intelectual e buscando soluções próprias e autônomas. Nosso principal objetivo é evidenciar, propor e analisar atividades didáticas relacionando matemática e música por meio de um viés histórico matemático-musical. Além desse objetivo central, estamos em busca de outros objetivos secundários: elaborar estratégias para o ensino da música e da matemática – fazendo uso de analogias entre as duas áreas do saber – montar um panorama histórico sobre as ligações entre matemática e música, utilizar a música para o ensino e a aprendizagem da matemática e vice versa. Em busca desses objetivos, nossa principal questão se concentra em:

-Como práticas pedagógicas interdisciplinares de matemática e música podem proporcionar uma alternativa didática e auxiliar no ensino e na aprendizagem de razões e proporções, progressões geométricas, notas, intervalos e escalas musicais? Além dessa pergunta principal, outras indagações secundárias são pertinentes para essa pesquisa: Como a música contribui para a aprendizagem da matemática? Como a matemática auxilia a aprendizagem musical? Quais as possibilidades de constituição de práticas pedagógicas para o ensino de matemática e de música que considerem a trajetória histórica das relações matemática/música como fio condutor desse processo? Que papel a história da matemática e da música têm na compreensão da música e da matemática? Como produzir afetividade no ensino de matemática e de música através de práticas pedagógicas que envolvam essas duas áreas? Procuramos responder essas perguntas tendo como base nossas leituras e experiência e analisando os dados (a) relativos ao contexto presencial, coletados através de gravações em áudio  e videoteipe das cinco oficinas de matemática e música; (b) os relatórios das oficinas feitos pelo pesquisador e pelos observadores, (c) e a análise dos questionários.

Tendo como base o que foi colocado até agora, temo como objetivo fundamentar teoricamente nossa proposta. Para isso ressaltaremos aspectos afetivos como parte importante no processo de ensino e aprendizagem, considerando relações afetivas e o desenvolvimento cognitivo como inseparáveis nesse processo. Estaremos nos concentrando na proposta do médico, psicólogo e filósofo francês , que aborda uma psicologia do desenvolvimento da personalidade, concebida como integração de afetividade e inteligência. Iremos também nos respaldar na teoria das inteligências múltiplas, defendida pelo professor, psicólogo ligado à educação, publicou seus trabalhos após 1983. Nesse trabalho foram definidas sete inteligências a partir do conceito de que o ser humano possui um conjunto de diferentes capacidades: Lógico-Matemática, Lingüística, Espacial, CorporalCinestésica, Interpessoal, Intrapessoal e Musical.

Sentimentos afetivos são difíceis de investigar e estudar, tanto em relação à sua definição, quanto ao uso da metodologia para sua pesquisa e análise. Na maioria das vezes, afeto, emoção e sentimento são utilizados como sinônimos. Ferreira (1994), por exemplo, define “afetividade” como “Conjunto de fenômenos psíquicos que se manifestam sob a forma de emoções, sentimentos e paixões, acompanhados sempre da impressão de dor ou prazer, de satisfação ou insatisfação, de agrado ou desagrado, de alegria ou tristeza”. Escolhemos Henri Wallon para fundamentar nossa percepção sobre afetividade e como ela se manifesta. Embora esse autor não sendo pedagogo, ele mostra em sua obra vários elementos que nos permite formar uma proposta para a educação. Em sua teoria, focaliza a noção de “meio”, que é o lugar onde a criança se desenvolve, sendo a escola o principal lugar para esse desenvolvimento. Outra razão para a escolha é que, pela sua obra, torna-se possível fazer uma conexão entre afetividade e inteligência.

Vários autores têm debatido sobre a afetividade na educação, colocando-a como indispensável nas relações de ensino e aprendizagem, sendo possível notar que tais sentimentos favorecem a interação professor aluno. Partindo desse pressuposto e fundamentados nas oficinas de matemática e música8 , afirmamos que a afetividade é fundamental nas relações de ensino e aprendizagem. Antes de falarmos sobre a teoria de Wallon a respeito da afetividade, destacaremos alguns momentos da sua trajetória de vida. Nasceu em Paris em 15 de junho de 1879 e veio de uma família de eminentes universitários, ligados todos à história da França. Passou sua infância interessado e apaixonado pelas coisas públicas e, com um pai que cultivava a filosofia humanitária, teve uma criação saudável, serena e doce, mas com uma liberal e ampla abertura às preocupações sociais e aos problemas humanos Antes de interessar-se pela Psicologia, ingressou na Escola Normal Superior e licenciou-se em Filosofia. Logo após, interessado nos valores culturais das teses socialistas, estudou Medicina em Paris, doutorando-se em 1908. Viveu em um período conturbado da história, num contexto de duas guerras mundiais, do fascismo do período entre guerras, das revoluções socialistas e das guerras para libertação das colônias da África, que atingiram boa parte da Europa e, em especial, a França. Ao voltar da Primeira Guerra Mundial, trabalhou com feridos de guerra e depois no trabalho de controle de uma instituição para crianças com necessidades especiais. Nesse momento, pesquisou relações existentes entre as manifestações psíquicas e orgânicas. 

De 1920 a 1937, foi encarregado de conferências sobre a psicologia da criança na Sorbonne e outras instituições de ensino superior. Em 1925 fundou um laboratório destinado à pesquisa e ao atendimento de crianças deficientes. Tornou-se membro da Comissão de Reforma do Ensino, de 1944 a 1947, onde acabou por redigir um documento intitulado “Projeto Langevin-Wallon”, um projeto de reforma para o ensino da França, elaborado em parceria com o físico Paul Langevin, que expressou suas idéias sobre a pedagogia, mas que não chegou a ser implantado. Wallon tomou a afetividade como tema central de sua obra. Para ele, sentimento, paixão e emoção não são sinônimos de afetividade, e sim suas manifestações, portanto, devem ser diferenciados. Para Wallon, a afetividade deve ser vista como um campo mais amplo, que inclui esses sentimentos.  Wallon diz que as emoções são a exteriorização da afetividade, que é, aliás, imprescindível no processo de desenvolvimento da personalidade da criança. A emoção é a forma utilizada pela criança para estabelecer uma relação com o mundo humano. Aos poucos, a expressão da criança, primeiramente fisiológica, caminha até se tornar um comportamento afetivo mais complexo, em que a emoção vai dando lugar aos sentimentos e depois às atividades intelectuais. 

Por seu sincretismo, por seu exclusivismo no tocante a qualquer orientação divergente, pela vivacidade de seu interesse e de sua impressão, a emoção está muito particularmente apta a suscitar reflexos condicionados. Sob a influência deles, pode muitas vezes parecer contrária à lógica ou à evidência. Assim se constituem complexos afetivos irredutíveis ao raciocínio. Mas ela também dá às reações uma rapidez e sobretudo uma totalidade que convém aos estágios da evolução psíquica e às circunstâncias da vida em que a deliberação está proibida. A emoção pode ter a tendência para reduzir a eficácia do funcionamento cognitivo. Mas soluções inteligentes serão facilmente encontradas se o indivíduo retomar o controle da situação e se ele for bem sucedido em suas ações, nesse caso fazendo com que a emoção diminua, embora não desaparecendo completamente. Wallon (2007, p. 117) coloca a afetividade como um dos “níveis funcionais” e os define como o estudo propriamente dito dos estágios de desenvolvimento da personalidade. Ele diz que “os domínios funcionais, entre os quais vai se distribuir o estudo das etapas que a criança percorre, serão os da afetividade, do ato motor, do conhecimento e da pessoa”. São esses domínios funcionais que direcionam o desenvolvimento do ser humano no decurso da vida, sendo cada um responsável por um determinado campo de atuação. 

Como domínio funcional, a afetividade depende da ação dos fatores orgânico e social. No decorrer da formação do indivíduo, esses fatores modificam tanto as fontes de onde vêm as manifestações afetivas, quanto as suas formas de expressão. A afetividade que inicialmente é um fator orgânico passa a ser fortemente influenciada pela ação do meio social. Wallon defende um desenvolvimento progressivo da afetividade, cujas manifestações vão se distanciando da base orgânica, tornando-se progressivamente mais relacionadas ao social e isso é claramente visto em suas teorias do desenvolvimento e das emoções, que permitiram evidenciar o social como origem da afetividade. Além de uma das dimensões da pessoa, a afetividade é uma das fases mais arcaicas do seu desenvolvimento. O ser humano foi logo no início da vida um ser afetivo. Da afetividade diferenciou-se lentamente a vida racional. No início da vida, afetividade e inteligência estão misturadas com predomínio da afetividade.

As influências afetivas que acompanham a criança desde seu nascimento têm uma ação determinante em sua evolução mental. Isso acontece porque na medida em que o indivíduo (criança) desperta para a vida, elas se dirigem a “[...] automatismos que o desenvolvimento espontâneo das estruturas nervosas contêm em potência, e por intermédio deles, a reações de ordem íntima e fundamental. Assim, o social se amalgama ao orgânico”. A diferenciação entre o que é afetivo e o que é cognitivo se mantém de modo que as aquisições de cada uma repercutem sobre a outra. Nessa trajetória, a afetividade reflui para dar espaço à intensa atividade cognitiva assim que a maturação põe em ação o equipamento sensório-motor necessário à exploração da realidade. A história da construção da pessoa será constituída por uma sucessão de momentos afetivos ou cognitivos, não paralelos, mas integrados. Para melhorar a afetividade a pessoa depende de conquistas realizadas no plano da inteligência e vice-versa.

Há diferentes tipos de pessoas e cada uma delas processa as informações ligadas à afetividade de sua própria maneira, de acordo com suas características e relacionadas com a área cognitiva e emocional atingida. Fatores afetivos e cognitivos exercem influências decisivas, que permitem relacionar vários tipos de áreas cognitivas específicas, influenciando de modo significativo a presença ou ausência de afetividade. Nesse ponto, citamos a teoria das inteligências múltiplas de Gardner (1994). Essa teoria de competências intelectuais humanas veio a público na década de 1980 e é uma teoria que desafia a visão clássica da inteligência e sustenta que as pessoas manifestam as mais distintas habilidades e que todas estas atividades requerem algum tipo de inteligência, mas não necessariamente o mesmo tipo de inteligência. A escola tradicional está centrada na exploração das inteligências lingüísticas e lógicomatemáticas. A escola com uma educação pessoal, centrada no aluno. Sua teoria de aprendizagem mostra a inteligência não apenas como uma capacidade de entender algo, mas também sustentada em criatividade e compreensão. Razão, inteligência, lógica, conhecimento não são sinônimos. Há um esforço para mostrar diversas habilidades e capacidades que foram atribuídas ao mental. Evidencia a existência de diversas competências intelectuais humanas, relativamente autônomas. Essa teoria não determinou exatamente o número dessas inteligências e nem sua totalidade quanto à natureza, extensão e estrutura, coloca, porém, como indubitável a existência de algumas inteligências que atuam de forma independente e são modeladas e combinadas de diversas maneiras por indivíduos e culturas.

A idéia das inteligências múltiplas é antiga, mas, mesmo não sendo um fato cientificamente comprovado, adquiriu o direito de ser seriamente discutida através da teoria desse autor. A seguir, uma breve descrição das principais inteligências de acordo com Gardner. A Inteligência linguística caracteriza-se por uma sensibilidade para lidar com as palavras, através de seus significados, seus signos e sons. Além disso, há uma especial capacidade de manipular os vários domínios da linguagem (semântica, fonética, sintaxe, etc.). Esta habilidade é vista nos poetas, oradores, atores e atrizes de teatro, etc. 

A Inteligência espacial é caracterizada nos indivíduos que têm capacidade para perceber o mundo visual e espacial de forma precisa e manipular formas e objetos mentalmente. É a inteligência dos artistas plásticos, dos engenheiros e dos arquitetos. 

A Inteligência cinestésica se refere à habilidade para resolver problemas ou criar produtos através do uso de parte ou de todo o corpo. É a habilidade para usar a coordenação grossa ou fina em esportes, artes cênicas ou plásticas no controle dos movimentos do corpo e na manipulação de objetos com destreza.

A Inteligência interpessoal é descrita como uma habilidade para entender e responder conjuntos de sentimentos. Tem a capacidade de perceber e fazer distinções no humor, intenções, motivações e sentimentos de outras pessoas. Ela é melhor apreciada na observação de professores, pastores, padres, políticos e vendedores bem sucedidos.

A Inteligência intrapessoal é a habilidade para conhecer seus próprios sentimentos, sonhos e pensamentos, fazendo assim seu processo de ação tendo como base esse conhecimento. Pessoas com essa inteligência são capazes de formular uma imagem precisa de si próprio.

A Inteligência musical se manifesta através de uma habilidade para apreciar, compor ou reproduzir uma peça musical. Inclui discriminação de sons, habilidade para perceber temas musicais, sensibilidade para ritmos, texturas e timbre, e habilidade para produzir e/ou reproduzir música. A criança pequena com habilidade musical especial percebe desde cedo diferentes sons no seu ambiente e, freqüentemente, canta para si mesma.

A Inteligência lógico-matemática tem como componentes centrais a sensibilidade para padrões, ordem e sistematização. É a habilidade para explorar relações, categorias e padrões através da manipulação de objetos ou símbolos; é a habilidade para lidar com séries de raciocínios, para reconhecer problemas e resolvê-los. É a inteligência característica de matemáticos e cientistas. Para Gardner, embora o talento científico e o talento matemático possam estar presentes num mesmo indivíduo, os motivos que movem as ações dos cientistas e dos matemáticos não são os mesmos. Enquanto os matemáticos desejam criar um mundo abstrato consistente, os cientistas pretendem explicar a natureza. A criança com especial aptidão nesta inteligência demonstra facilidade para contar e fazer cálculos matemáticos, resolver problemas, criar notações práticas de seu raciocínio, entre outros. De especial interesse para a investigação é a análise da relação entre matemática e música. Embora Gardner apresente as inteligências como autônomas, ele diz que pouquíssimas vezes funcionam separadamente. Para ele “[...] estas inteligências trabalham em harmonia, então sua autonomia pode ser invisível” (GARDNER 1994, p. 7). Quando nos aproximamos e observamos mais cuidadosamente, emerge a natureza peculiar de cada inteligência.

A meu ver, há elementos claramente musicais, quando não de “alta matemática” na música: estes não deveriam ser minimizados. Para apreciar a função dos ritmos no trabalho musical o indivíduo deve ter alguma competência numérica básica. [...] Meu palpite é que estas analogias provavelmente podem ser encontradas entre duas quaisquer inteligências e que, de fato, um dos grandes prazeres em qualquer área intelectual se deve a uma exploração do seu relacionamento com outras esferas da inteligência. Nas relações e atividades didáticas envolvendo matemática e música, propostas nesse trabalho, há um grande potencial que incentiva processos afetivos e cognitivos. As inteligências múltiplas são potencializadas nesse cenário, pois em cada área, há a sua forma de entender e tratar os assuntos. Usando isso podemos estimular o afeto e a cognição em áreas que estão mais próximas desses alunos, por exemplo, alunos que têm uma maior habilidade em música (inteligência musical) estarão muito mais próximos da compreensão de conceitos como razões e proporções, intervalos e escalas, quando esses estiverem sendo expostos em um monocórdio.

Já quem é da área da matemática, também estará próximo de suas competências, quando tratarmos desses assuntos, pois seu raciocínio lógico abrirá caminhos mais fáceis para esse entendimento. A fim de tornar o aprendizado impregnante, consiste estratégia educacional efetiva a injeção de afeto em territórios cujas ligações mostram-se, ainda, pouco consolidadas, possibilitando, àqueles envolvidos na dinâmica de ensino/aprendizagem, sentir o conhecimento [...]. Entre as táticas de ensino, considera-se fortemente a utilização das competências promissoras como apoio para o desenvolvimento de outras em que o aluno possui mais dificuldade, estabelecendo pontes conectoras de afeto e cognição. O conhecimento das tendências promissoras e das dificuldades de um aluno torna-se um elemento significativo no contexto presente. Ou seja, saber onde o aluno tem melhor desenvoltura auxilia o professor a conhecê-lo melhor e, a partir desse ponto, mostrar ligações com outras áreas que tem mais dificuldades; ao passo que, sabendo as dificuldades do aluno, o professor pode utilizar, por exemplo, conexões em áreas em que esse aluno tem mais facilidade. Faz-se relevante preocupar-se constantemente com a dinâmica de ensino do aluno e com a maneira como distribuem-se ponderadamente suas capacidades, a fim de oferecer terrenos que possibilitem ao estudante desvendar sua originalidade, bem como desenvolver aquelas competências consideradas mais deficientes.

Vários pensamentos que estão incluídos nesse trabalho. Por exemplo, quando mostra os componentes da inteligência musical dizendo que muitos especialistas colocaram aspectos afetivos como parte central da música. As relações entre música e matemática estão aqui para serem olhadas como uma via de mão dupla, em que as distintas aptidões, respeitando sua área de atuação, possam auxiliar uma a outra. Com o conhecimento das múltiplas inteligências propostas por Gardner, teremos mais subsídios para entender os motivos pelos quais os alunos têm melhores e piores desempenhos em determinadas atividades de ensino. As atividades propostas nesta pesquisa têm o papel estimulador de inteligências e, com o passar do tempo, propiciam-se condições para que os alunos sejam responsáveis pela sua própria aprendizagem e também pelo aprimoramento de suas habilidades. Essas atividades tendem a proporcionar uma aproximação de áreas próximas ao seu entendimento, em suas respectivas áreas, tornando assim um ambiente favorável para a afetividade e assim podendo melhorar seu aprendizado.

A execução das tarefas propostas nas atividades requer uma combinação de inteligências e afetividade, para nós, essenciais para o processo de ensino e aprendizagem. Essas tarefas variam de situações relativamente direcionadas pelo professor a outras em que os alunos agem livremente, decidindo o que e como fazer. Nessas situações, podemos desenvolver uma linha de raciocínio baseada na interdisciplinaridade. Essas ações propostas passam por diversas disciplinas tendo a matemática e a música em primeiro plano, mas também envolvendo outras disciplinas, como por exemplo física, educação ambiental e biologia. Talvez a dificuldade de achar uma definição única e delimitada para a interdisciplinaridade seja a mesma que temos em praticá-la e por isso requer uma atenção especial. Apesar da dificuldade, há uma interação muito maior entre alunos e professor quando se utiliza atividades que envolvem diversas áreas do saber. Por exemplo, na atividade das palmas e das consonâncias9 várias competências foram utilizadas: a lógico-matemática, a musical, a corporal cinestésica, as inter e intrapessoal. Nesse sentido, pretendemos desenvolver juntamente com professores e licenciandos das áreas em estudo, atividades pedagógicas que possibilitem a constituição de um processo de aprendizagem relacionando a matemática e a música. Pimenta (2000) indica a necessidade de uma maior aproximação entre as práticas escolares e a produção de conhecimento desenvolvida na universidade. Acredita que essa aproximação favoreça mudanças significativas na cultura organizacional da escola parceira e contribua no aprofundamento de conhecimentos sobre o processo de construção dos saberes pedagógicos.

Esse tipo de proposta enfatiza a substituição das relações hierárquicas entre quem faz pesquisa e quem aplica pesquisa, por relações de colaboração no contexto de sala de aula entre pesquisador e professor. Seu objetivo é favorecer o desenvolvimento profissional do professor e do pesquisador, assim como, a ampliação dos conhecimentos sobre os processos de ensino, de aprendizagem, de formação continuada e de desenvolvimento de pesquisa numa perspectiva reflexiva, crítica e colaborativa. 

A relação matemática e música é um assunto já abundantemente estudado e aplicado. A bibliografia disponível é ampla. Cabe citar, por exemplo, a compilação bibliográfica sobre Afinação e Temperamento realizada por Manuel Op de Coul, Brian McLaren e Dominique Devie, contendo 5.127 títulos, entre manuais, monografias e artigos publicados em periódicos, ou ainda a realizada no site da H.W. Wilson Company, esse com 4822 artigos . Nessa pesquisa pudemos observar, no entanto, a escassez de obras publicadas sobre o tema em português, e ainda as que relacionam tal assunto com a área educacional. É de se notar, pela leitura dos resumos, que a maioria desses títulos fala a respeito da área computacional, área eletro-acústica e da aplicação da matemática pura. Uns revelam o viés histórico em que a matemática e a música tiveram suas ligações e suas origens como ciência, outros tratam da teoria musical e poucos falam do seu uso educacional.

Listaremos e destacaremos algumas dessas obras que têm relevância e que foram diretamente usadas nesse trabalho como base de pesquisa, como base do referencial teórico ou como base da metodologia nas montagens das oficinas interdisciplinares. Listaremos obras direcionadas para a história da relação matemática/música e para o uso da relação matemática/música utilizada para fins didáticos. Nosso trabalho se baseou diretamente nos trabalhos desse livro, principalmente no relato a respeito das oficinas interdisciplinares de matemática e música e em suas considerações a respeito do desenvolvimento didático e pedagógico. O primeiro capítulo do livro descreve uma trajetória histórica da relação matemática/música intitulado “Da Matemática à Música: um passeio numérico através dos sons”. Ilustra as relações, as analogias, e os paralelos organizando historicamente momentos importantes dessas duas ciências. O autor fala dos teóricos musicais gregos, dos estudos através do experimento do monocórdio e a música na escola pitagórica.

Pitágoras deu continuidade a seus experimentos investigando a relação entre o comprimento de uma corda vibrante e o tom musical produzido por ela. Caracterizando a primeira lei descoberta empiricamente, o experimento de Pitágoras é ainda a primeira experiência registrada na história da ciência, no sentido de isolar algum dispositivo para observar fenômenos de forma artificial  O autor atravessa a história da matemática/música pela Idade Média até o Renascimento, ressaltando vários nomes que contribuíram para o estudo dessa relação. Além de Pitágoras, nomes como Árquitas de Tarento, Gioseffo Zarlino, Marin Mersenne, Johannes Kepler, René Descartes, Jean Philippe Rameau, entre outros, são citados, evidenciando seus estudos e experimentos que utilizavam a matemática. Esse capítulo aborda ainda a emergência do Temperamento igual – divisão do intervalo de oitava em semitons associados a relações de freqüências exatamente iguais, os Harmônicos – sons parciais de uma nota musical que compõem sua sonoridade e a Série Harmônica – seqüência dos Harmônicos ordenados do grave ao agudo.

No segundo capítulo, há uma organização teórica defendida pelo autor a respeito do pensamento analógico na construção de significados, implicações e conseqüências no processo didático/pedagógico. Cita o Conhecimento de Rede (LÉVY, 1993; MACHADO, 1995), a Inteligência como um espectro de Múltiplas Competências (GARDNER, 1994) e a Inteligência Coletiva (LÉVY, 1994) para ancorar e discutir as dinâmicas de participação do Pensamento Analógico. 

Apresenta o papel das metáforas e analogias como figuras conectivas de afeto e sentimento com a cognição na catálise de dinâmicas didático/pedagógicas, segundo concepção de Ricouer, além de tratar a respeito das redes cognitivo/afetivas. No terceiro capítulo, revê a trajetória histórica da relação matemática/música traçada à luz do referencial e concepções por ele defendida investigando a interação entre matemática e música. No último capítulo o autor expõe metodologicamente as oficinas interdisciplinares realizadas e discute implicações educacionais a respeito do tema proposto, analisando as atividades e mostrando a importância do pensamento analógico na dinâmica de ensino/aprendizagem. Discorre sobre atividades desenvolvidas nas oficinas interdisciplinares e procura reproduzir a trajetória da matemática/música. Parte do experimento de Pitágoras e passa por intervalos musicais, por teóricos musicais gregos, pela música na Idade Média, pelo Temperamento, pelos pensadores do Renascimento e termina com as relações entre Séries de Fourier Série Harmônica. Segundo Abdounur as atividades envolvendo matemática e música podem ser usadas como estratégia educacional, procurando assinalar a busca de um equilíbrio dinâmico das diversas competências e revelar outras que estão por vezes “adormecidas”, catalisando assim o desenvolvimento pessoal.

É de particular interesse para esse trabalho a organização das atividades escolares propostas aqui. O intuito é investigar como atividades envolvendo matemática e música auxiliam o professor e o aluno no processo de ensino e aprendizagem. Para isso, usaremos algumas atividades descritas nesse capítulo juntamente com algumas que já utilizamos além outras que serão criadas e desenvolvidas para as oficinas. Muito nos auxiliou a experiência vivenciada e relatada pelo autor e, principalmente, a forma como foram desenvolvidas, realizadas e analisadas as oficinas. Motta descreve uma proposta metodológica de ensino da matemática para alunos da Educação Infantil com deficiência visual através de ritmos, músicas e utilização do corpo. Usa a audição como percepção e descreve atividades usadas em sala de aula, deixando claro como foi utilizado no projeto e a significância para fins educacionais. A essência do projeto, intitulado DRUMMATH, caracteriza-se em transformar as abstratas compatibilidades e incompatibilidades matemáticas de um dado conceito aritmético em algo concreto através de ações de nível motor. São sons compatíveis e incompatíveis, provenientes de ações que terão na compatibilidade um sinônimo de conforto corporal no senso estético rítmico. Há uma sensação concreta na compreensão do conceito matemático relacionado com a audição na contextualização da idéia matemática por parte do deficiente visual. As atividades partem de uma execução motora e estão intimamente ligadas a um ambiente afetivo despertando possibilidades cognitivas. Para Motta, as atividades ainda facilitam a compreensão de conceitos matemáticos e contribuem para a educação matemática de um maior número de alunos.

Este conjunto de idéias, quando posto em prática em cursos de formação de professores, por exemplo, se coloca naturalmente sob a nova ótica curricular proposta para os cursos de Licenciatura. Ao mesmo tempo, chama a atenção dos licenciandos para algo importante: não existe, efetivamente, no conhecimento humano, uma linha de separação entre o pedagógico e o específico. Existe sim, em um primeiro instante, o levante de uma postura pedagógica em um ambiente orientado de maneira específica e, a seguir, a ação específica de teor pedagógico.  Transmite um contexto natural de integração das distintas linguagens científicas, humanas e exatas, e promover a inclusão do deficiente visual no ambiente escolar trabalhando o próprio resgate do indivíduo em relação à sua auto-estima. A proposta de Motta contribuiu significativamente para o nosso trabalho em relação à fundamentação teórica. O autor baseia-se em Henri Wallon e apresenta a questão afetiva na execução das atividades. Coloca a afetividade como ponto primordial para o ensino e  aprendizagem de alguns conceitos matemáticos. Além disso, nas atividades utilizadas, há o envolvimento de relações entre matemática e música; na matemática, números primos, soma, subtração, máximo e mínimo múltiplo comum e na música, o aspecto rítmico.

O aspecto rítmico é o ponto principal frisado no projeto de Motta, que busca uma interação coporal-cinestésica, evidenciando os impulsos sonoros a fim de mostrar conteúdos matemáticos para os deficientes visuais. O artigo tem forte relação com aspecto lúdico e emocional, o assunto proposto aparece de maneira dinâmica e prática e é usado de maneira descontraída. Há um interesse em mostrar a matemática de forma mais dinâmica e prática, e não estática, cheia de símbolos e sem nenhum atrativo.  Traz várias associações entre matemática e música e traça uma linha histórica com nomes que incluíram esse tema em suas pesquisas e experimentos. Diz que no entendimento, transmissão e criação da música, há uma série de relações simbólicas e sonoras que são associadas à matemática, ou seja, que a música seria a “ciência do número aplicada aos sons”. Cabe ressaltar neste texto a “Aritmúsica Pitagórica”, com Pitágoras e seus experimentos com o monocórdio, relacionando razões de números perfeitos com cordas vibrantes. Para Pitágoras a harmonia do som correspondia diretamente com a aritmética das proporções: a 2/3 associava à quinta, 3/4 à quarta e 1/2 associada à oitava. Nesta mesma época surgem explicações sistemáticas das primeiras escalas musicais que seriam tratadas no antigo texto Sectio Canonis, ou a divisão dum monocórdio, escrito cerca de 300 a.C atribuído possivelmente a Euclides.

Segue uma linha histórica através de nomes, livros e textos: Boécio e sua De Institutione Musica, Aristóteles e a música das esferas, Cláudio Ptolomeu com sua obra Mathematike Syntaxis, Copérnico com sua publicação importante obra De Revolutionibus Orbium Celestim, Leonhard Euler e Do verdadeiro carácter da música moderna de Galileu Galilei, Kepler, Zarlino, entre outros cientistas que abordaram profundamente a teoria da música e da matemática. Para nossa pesquisa utilizamos a abordagem histórica traçada nesse artigo. Pudemos acompanhar vários momentos da relação matemática e música e obter várias imagens e textos mostrados a partir de fontes primárias de livros. Por exemplo, Guido d’Arezzo e seu livro Micrologus, Euclides e o texto possivelmente escrito por ele Sectio Canonis, Boécio e o De Institione Musica, Copérnico, com a publicação em 1543 da sua obra capital De Revolutionibus Orbium Celestium. Na montagem das oficinas, utilizamos algumas imagens recolhidas desse texto. Essas imagens mostram momentos importantes que marcaram a história da relação matemática/música. Também utilizamos o cálculo das médias aritméticas e harmônicas na aplicação da atividade da escala de Árquitas1

O artigo traz uma leitura histórica da matemática no Renascimento com base nos estudos de Tomas Kuhn e suas explanações a respeito da Revolução Científica. O autor considera que a acústica, assim como a ciência como um todo, assumiu um caráter empírico e que ela foi baseada em princípios matemático-experimentais, mostrando uma diferente natureza da relação matemática e música. Nas palavras do autor,  Esse prévio ensaio trata as transformações da ciência acústica durante o Renascimento que abrangem diversas questões relacionadas, por exemplo, com os novos fundamentos matemáticos da acústica, abarcando além da concepção de som como onda ou consonância por coincidência de vibrações, como também conceitos relevantes como ressonância, superposição de ondas dentre outros que permitiram uma nova leitura matemático-empírica dos fenômenos musicais, leitura essa incomensurável, no sentido kuhniano, com as concepções acústico-matemáticas anteriores associadas a tais conceitos permitindo uma leitura mais profunda. Essas características ilustram um possível enquadramento do período chamado de Revolução Científica de Kuhn na acústica renascentista.

Antes do Renascentismo, a especulação era predominante na história da acústica e somente nessa época adquiriu um caráter mais empírico ligado à matemática. Nesse período vários nomes colaboraram com experimentos que faziam a junção da matemática e a música, tais como Gioseffo Zarlino, Benedetti, Galileu Galilei, entre outros. Esse texto nos auxiliou a entender e pesquisar o desenvolvimento da acústica através dos conceitos de Thomas Kuhn e de como foi a mudança de uma música matemático-especulativa para uma música matemático-empírica. Essa mudança foi primordial para dar um caráter científico à música e assim transformá-la em ciência. O texto apresenta alguns exemplos dessa transformação, o que serviu de base para aplicar nossas atividades.  Esse artigo explora possíveis abordagens para o ensino das progressões geométricas associadas à música, mais especificamente através do entendimento das escalas diatônicas e cromáticas, que são amplamente usadas na música ocidental. Começa fundamentando teoricamente o estudo da matemática e da música, enumerando diversos estudos sobre o assunto e trazendo inúmeros exemplos de autores que tratam dos mais variados temas que abordam tal eixo temático. Descreve como surgiram os estudos sobre escalas e como surgiu o Temperamento, dissertando a respeito da escala diatônica e da escala cromática. Explica como ocorre a construção da escala do braço do violão, citando cada parte desse instrumento e exemplificando a escala cromática no sistema de trastes que compõem o instrumento, fazendo aí a vinculação com a progressão geométrica.

Foi proposto um questionário em forma de ficha de inscrição com o objetivo de conhecer e investigar possíveis ligações dos participantes sobre o assunto – relações entre matemática e música – e para saber se já teriam utilizado esta estratégia para o ensino e/ou aprendizado. A seguir, o questionário respondido pelos participantes seguidas de nossas análises. Todos assinalaram alguma ligação com a música. A maioria dos participantes (quinze) está estudando ou já teve aulas de música por um período de tempo ou mesmo toca algum instrumento musical. Três dos sujeitos assinalaram que são apreciadores (ouvintes), o que, para nós, também caracteriza um tipo de ligação com a música. Ou seja, nenhum é indiferente à música.

Nove assinalaram que tocam violão e sete tocam piano (teclado). Notamos que esses instrumentos musicais são mais comuns à maioria dos participantes, confirmando nossa intenção de utilizá-los como material didático nas oficinas. Optamos utilizar violões ao invés de monocórdios, teclados ao invés de pianos, softwares19 que simulavam no computador o osciloscópio, o freqüencímetro, etc. ao invés dos aparelhos citados. Um dos nossos objetivos foi utilizar instrumentos e materiais pedagógicos mais acessíveis ao professor. Em algumas atividades utilizamos a voz, o corpo (palmas, sapateados, dança, etc.), materiais reciclados (pilhas, garrafas de vidro, garrafas pet, etc.). Não queríamos que as atividades propostas nesse trabalho pudessem apenas ser reproduzidas em um laboratório exclusivamente equipado para as aulas.

Outro objetivo secundário seria de incentivar a educação ambiental com a fabricação de instrumentos musicais com materiais reciclados20. Esse tema não é o foco de nossas atividades que era o procedimento matemático para a construção dos instrumentos - mas que, diante do que era exposto e dos materiais utilizados, foram debatidos como uma forma de reutilizar e/ou reciclar o lixo. 

Por se tratar de uma matéria obrigatória no currículo escolar, observamos que todos já estudaram ou estudam matemática. Naturalmente havia sujeitos com conhecimentos mais aprofundados em matemática do que outros, pois o bacharel em matemática evidencia mais estudos em matemática do que aqueles que somente cursaram (ou cursam) na escola básica.